Gyorskeresés

36.058

A Nemzetközi Űrállomáson (ISS) a súlytalanság miatt egy adag vizet a molekulák közötti erők gömbbé formálnak, úgy lebeg a levegőben.

1.  Mekkora energia szabadul fel (a felületi energia megváltozása miatt), ha a képen látható kb. $6\ \mathrm{cm}$ átmérőjű, gömb alakúnak vehető vízcseppből két példány "összeolvad" (egyesül, vagyis igazi "hidegfúzió" zajlik le)? A víz felületi feszültsége a szokványos $20\ \mathrm{ºC}$ hőmérsékleten:
\(\alpha_{\textit{víz}}=0,0725\ \mathrm{\frac{N}{m}}\)

\(3,385\ \cdot {10}^{-4}\ \mathrm{J}\)

A felületi energia megváltozása ($\Delta E_F$) egyenesen arányos a $\Delta A$ felületváltozással:

\[\Delta E_F\sim \Delta A\]

az arányossági tényezőt nevezzük $\alpha$ felületi feszültségnek:

\[\Delta E_F=\alpha\cdot \Delta A\]

Ez alapján ki kellene számolnunk a $\Delta A$ felületváltozást. A változás mindig a végső és a kezdeti érték különbsége:

\[\Delta A=A_2-A_1\]

A kezdeti felület a két darab $6\ \mathrm{cm}$ átmérőjű gömb felületeiből áll össze. A gömb felülete mindig

\[A=4\pi\cdot r^2\]

Ez alapján a kezdeti összes felület:

\[A_1=2\cdot 4\pi\cdot r^2_1\]

\[A_1=8\pi\cdot {\left(3\ \mathrm{cm}\right)}^2\]

Mivel a $6\ \mathrm{cm}$‑es átmérőnek a fele a gömb sugara.

\[A_1=226,2\ {\mathrm{cm}^2}\]

A végső felület is hasonlóan számítható, de először ki kell számolnunk, hogy mekkora sugarú gömbbé egyesül a két $6\ \mathrm{cm}$-es átmérőjű. Használjuk ki, hogy a folyadékok ,,összenyomhatatlanok'' (azaz jelentős nyomásváltozás hatására is csak alig változtatják meg a térfogatukat). Emiatt a kezdeti két gömb ugyanakkora térfogatú, mint a végén lévő egy darab:

\[V_1=V_2\]

A gömb térfogata mindig

\[V=\frac{4\pi}{3}r^3\]

Ez alapján:

\[2\cdot \frac{4\pi}{3}r^3_1=\frac{4\pi}{3}r^3_2\]

Egyszerűsítünk a törttel:

\[2\cdot r^3_1=r^3_2\]

Az egyenlet mindkét oldalából köbgyököt vonva, vagy másképp fogalmazva \(\displaystyle \frac{1}{3}\) kitevőre emelve az oldalakat:

\[2^{\frac{1}{3}}\cdot {\left(r^3_1\right)}^{\frac{1}{3}}={\left(r^3_2\right)}^{\frac{1}{3}}\]

\[\sqrt[3]{2}\cdot {\left(r_1\right)}^{3\cdot \frac{1}{3}}={\left(r_2\right)}^{3\cdot \frac{1}{3}}\]

\[\sqrt[3]{2}\cdot r_1=r_2\]

\[r_2\approx 1,26\ r_1\]

Tehát az új, egyesült gömb sugara 1,26‑szor lesz nagyobb, amekkora az eredeti (egyforma) gömbök sugara volt, számszerűen:

\[r_2\approx 1,26\cdot 3\ \mathrm{cm}\]

\[r_2\approx 3,78\ \mathrm{cm}\]

Most már ki tudjuk számítani a végső felületet:

\[A_2=4\pi\cdot r^2_2\]

\[A_2=4\pi\cdot {\left(3,78\ \mathrm{cm}\right)}^2\]

\[A_2=179,5\ {\mathrm{cm}}^2\]

Ezek alapján a felületváltozás:

\[\Delta A=A_2-A_1\]

\[\Delta A=179,5\ {\mathrm{cm}}^2-226,2\ {\mathrm{cm}}^2\]

\[\Delta A=-46,7\ {\mathrm{cm}}^2\]

\[\Delta A=-0,00467\ \mathrm{m^2}\]

A negatív előjel azt jelenti, hogy csökkent a térfogat.

Nézzük a felületienergia‑változást:

\[\Delta E_F=\alpha \cdot \Delta A\]

Tudjuk, hogy a víz felületi feszültsége:

\[\alpha=0,0725\ \mathrm{\frac{N}{m}}\]

Beírva az adatokat:

\[\Delta E_F=\alpha \cdot \Delta A\]

\[\Delta E_F=0,0725\ \mathrm{\frac{N}{m}}\cdot \left(-0,00467\ \mathrm{m^2}\right)\]

\[\Delta E_F=-3,385\ \cdot {10}^{-4}\ \mathrm{J}\]

A negatív előjel azt jelenti, hogy a felületi energia (vagyis a molekulák közötti kölcsönhatás potenciális energiája) csökken, vagyis emiatt felszabadul ez a kis energia. Ez vagy valamilyen mechanikai formában fog megjelenni (a csepp deformációs rezgéseket fog végezni), vagy hővé alakul (azaz nagyon kicsit felmelegíti a cseppet).