Gyorskeresés

A Bohr-féle atommodell 6231

A Rutherford-féle atommodell a hiányosságai miatt továbbfejleszésre szorult, vagyis a Bohr-féle atommodell megalkotása során (1913) Bohrnak mindkét problémát valahogy orvosolnia kellett. Tehát az atom új, Bohr-féle modellben egyrészt valahogyan el kellett érni, hogy az elektron ne sugározzon (az atom stabilitása érdekében), másrészt hogy az elektron energiája ne lehessen folytonosan változó értékű, hanem csak bizonyos meghatározott értékeket vehessen fel (a vonalas színképek magyarázata miatt). Az első probléma esetében Bohr tehetetlen volt, hiszen az elektronnak muszáj mozgásban lennie a mag körül, ugyanis ha álló helyzetben lenne, akkor az atommag gyorsan magába rántaná; az elektromos vonzás miatt hirtelen belezuhanna a magba. Viszont az elektrodinamika Maxwell által egyesített törvényei - melyek szerint a keringő elektronnak sugároznia kellene - olyannyira stabilak, a tapasztalattal mindig egyezőnek bizonyultak, hogy az elektrodinamikát nem volt mersze megkérdőjelezni (ez utólag is jó döntésnek bizonyult). A második probléma kezelése nem volt nehéz, így Bohr kezelési javaslata nagy vonalakban a következő volt a két problémára:

  1. Egyszerűen "meg kell tiltani", hogy egy elektron az atom körüli pályáin keringve sugározzon; mondjuk azt, hogy bizonyos pályákon "mentesül" a sugárzás kényszere alól.
  2. Az elektron számára nem szabad megengedni, hogy akárhogyan, akármekkora sebességgel, akármekkora sugarú körpályán keringjen, hanem valami megkötést kell tenni a "számára megengedett" pályákra.

Bohr ezt a két problémát az atommodelljében két posztulátummal oldotta meg. A posztulátum olyan kiinduló feltevés, melynek érvényességét nem vizsgáljuk, nem feszegetjük. Hanem a posztulátumból kiindulva számításokat végzünk konkrét dolgokra (például kiszámítjuk a hidrogénatom elektronjainak energiaszintjeit), és majd a számítás (jóslat) eredményeit vizsgáljuk meg, hogy összhangban vannak-e a tapasztalattal. Ha igen, akkor az egyezés utólag, közvetett módon megerősíti a kiinduló feltevések helyességét. Szigorú értelemben nem bizonyítja a posztulátumokat, de megnyugtathat minket, hogy jó úton járunk. A Bohr-modell posztulátumai a következők voltak:

A Bohr-modell vállaltan korcs (szalonképesebben szólva hibrid) elmélet, félig még klasszikus, de félig már modern. Az elektront még klasszikus szemlélettel, az atommag körül keringő golyóként írja le, de a pályafeltételben már olyasvalami szerepel, ami a folytonos függvényekkel machináló klasszikus fizika számára idegen: egy fizikai mennyiség értéke nem változhat meg tetszőlegesen kis értékkel, hanem csak meghatározott lépésekkel, ugrásokkal. Bohr tisztában volt vele, hogy ezen ellentmondások miatt a modellje nem lehet az atomi elektron leírásának teljes, végső változata, de akkor még (1913-ban) nem volt lehetősége jobbra. Nem kellett sokat várnia, mire egykori tanítványai felépítették az új fizikát: az 1920-as évek végén megszületett a kvantummechanika, mely az atomi elektron (és minden mikrovilágbeli objektum teljes, pontos leírását adja, csak sajnos már nem olyan szemléletes, könnyen elképzelhető, mint a klasszikus mechanika.

Számítsuk most ki a posztulátumokból a legegyszerűbb atom, a hidrogénatom egyetlen elektronjának pályasugarait, sebességeit, annak energiáit, és vessük össze a pályák energiakülönbségeit a hidrogén emissziós (kibocsátái) spektrumvonalainak megfelelő energiákkal!
 

 Az \(r_n\) pályasugarak 

Induljunk ki abból, hogy a hidrogánatomban a proton körül keringő elektronra mekkora Coulomb-erő hat:

\[F_{\mathrm{C}}=k\frac{Q_1Q_2}{r^2}\]

Mivel a töltése a protonnak is és az elektronnak is $e$ elemi töltés nagyságú, ezért

\[F_{\mathrm{C}}=k\frac{\ e^2}{\ r^2}\]

Azért nem kellett foglalkoznunk azzal, hogy az elektron töltése negatív, a protoné pozitív, mert a töltések előjelei csak az ébredő erő irányára vannak hatással, a nagyságára nem, mi pedig tudjuk, hogy a Coulomb‑erő pont olyan irányú, amilyen centripetális gyorsulása van az elektronnak, hisz a Coulomb‑erő egymaga biztosítja az elektron centripetális gyorsulását (a proton és az elektron között ébredő gravitációs vonzás kb. $10^{39}$‑szer gyengébb, mint a Coulomb‑erő).

Ez a Coulomb‑erő tartja körpályán az elektront, tehát ez biztosítja a centripetális erőt, ami általában:

\[F_{\mathrm{cp}}=m \frac{\ v^2}{r}\]

alakú. Tehát:

\[k\frac{\ e^2}{\ r^2}=m\frac{\ v^2}{r}\]

\[k e^2=m r v^2\]

Vegyük ehhez hozzá Bohr I. posztulátumát:

\[mvr=n\hslash\]

Fejezzük ki ebből a $v$ sebességet:

\[v=\frac{n \hslash}{mr}\]

Fejezzük ki a sebesség négyzetét, mert a dinamikai egyenletbe ez szerepel:

\[v^2=\frac{n^2{\hslash^2}}{m^2r^2}\]

Ezt írjuk be a dinamikai egyenletből kapott egyenletbe:

\[ke^2=mr \frac{n^2{\hslash^2}}{m^2 r^2}\]

\[ke^2=\frac{n^2{\hslash^2}}{m r}\]

Ezt kirendezve a körpálya sugarára:

\[r=\frac{n^2 {\hslash^2}}{mke^2}\]

vagy  szokásos jelölésekkel, ha a sugár alsó indexében $r_n$ formában jelezzük, hogy az az $n$ kvantumszám függvényében hányadik sugár:

\[\boxed{r_n=\frac{{\hslash }^2}{mke^2}\cdot n^2}\]

Illetve bevezetve az \(\displaystyle r_0=\frac{{\hslash }^2}{mke^2}\) jelölést:

 \[r_n=r_0\cdot n^2\]

Azt látjuk, hogy a körpályák sugarai az $n$ kvantumszám négyzetével nőnek, vagyis a legkisebb sugárnak 4-szerese, 9-szerese, 16-szorosa stb a többi pálya sugara.

A legkisebb pályasugár értéke hidrogénatomra behelyettesítve:

\[r_0=0,053\ \mathrm{nm}\]

Kissé zavarosnak tűnhet, hogy a legkisebb sugarú pályát, mely esetében $n=1$, nem úgy jelöljük, mint az 1. pálya, hanem mint a 0. (nulladik). Ennek oka, hogy ez a legalacsonyabb energiájú pálya, ezért ezt alapállapotúnak nevezzük, az összes többit pedig gerjesztett állapotúnak. Emiatt az 1. gerjesztett pálya már a 2. pályát jelenti.
 

 A \(v_n\) "keringési" sebességek 

Számítsuk ki, hogy mennyi a kerületi sebessége az elektronnak az egyes pályákon! Ehhez a korábbi

\[v=\frac{n \hslash}{mr}\]

egyenletbe beírjuk az imént kapott

\[r_n=\frac{{\hslash }^2}{mke^2}n^2\]

kifejezést:

\[v=\frac{n\hslash}{\displaystyle m\frac{\hslash^2}{mke^2}n^2}\]

a műveleteket elvégezve és megint alsó indexben jelezve, hogy melyik, az $n$ kvantumszámmal jelzett pálya sebességéről van szó:

\[\boxed{v_n=\frac{ke^2}{\hslash }\cdot \frac{1}{n}}\]

Tehát az elektron sebessége az egyre nagyobb $n$ kvantumszámú, és egyre nagyobb sugarú (távolabbi) pályákon egyre kisebb.

A legelső pályán, azaz az $n=1$ esetben, amit a nulladik, alapállapotú esetnek nevezünk, az elektron sebessége:

\[v_0=2,18\cdot {10}^6\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]

Ez elsőre óriási sebességnek tűnik, de ha jobban megnézzük, ez a \(\displaystyle c=3\cdot 10^8\ \frac{m}{s}\) fénysebességnek még az $1\%$‑a sincs.
 

 Az elektron \(E^{\mathrm{kin}}\) mozgási (kinetikus) energiája 

Számítsuk ki, hogy mekkora az elektron mozgási (kinetikus) energiája az egyes pályákon (természetesen továbbra is nemrelativisztikus esetben)! Ehhez használjuk a mozgási energia képletét:

\[E^{\mathrm{kin}}=\frac{1}{2}mv^2\]

\[E^{\mathrm{kin}}_n=\frac{1}{2}m{\left(\frac{ke^2}{\hslash }\cdot \frac{1}{n}\right)}^2\]

\[\boxed{E^{\mathrm{kin}}_n=\frac{mk^2e^4}{2\hslash^2}\cdot \frac{1}{n^2}}\]

Behelyettesítve az értékeket:

\[E^{\mathrm{kin}}_n=2,18\cdot {10}^{-18}\ \mathrm{J}\cdot \frac{1}{n^2}\]
 

 Az elektron \(E^{\mathrm{pot}}\) potenciális energiája 

Számítsuk ki, mekkora az elektron elektromos potenciális energiája az egyes pályákon. Általában egy erő miatt jelentkező potenciális energiának a jelentése az, hogy mekkora munkát végez az adott kölcsönhatás ereje, miközben a két testet végtelen távolságra visszük el egymástól:

\[E^{\mathrm{pot}}=k\frac{Q_1Q_2}{r}\]

Itt most van jelentősége a töltések előjelének is: az atommag (proton) pozitív \(e\) elemi töltésű, az elektron viszont negatív elemi töltésű:

\[E^{\mathrm{pot}}=k\frac{e\left(-e\right)}{r}\]

\[E^{\mathrm{pot}}=-k\frac{e^2}{r}\]

A potenciális energia negatív előjele azt jelenti, hogy a Coulomb-erő munkája negatív lenne, miközben az elektron a protontól a végtelen távolba jutna el. Ugyanis a Coulomb-erő vonzó közöttük, tehát a széthúzást folyamatosan akadályozni próbálja. Vagyis a Coulomb-erő és az elmozdulás ellentétes irányúak, ilyenkor a munkavégzés negatív.

Írjuk be az $r_n$ pályasugarakra korábban kapott kifejezést:

\[r_n=\frac{\hslash^2}{mke^2}\cdot n^2\]

\[E^{\mathrm{pot}}_n=-k\frac{e^2}{\displaystyle \frac{\hslash^2}{mke^2}\cdot n^2}\]

\[\boxed{E^{\mathrm{pot}}_n=-\frac{mk^2e^4}{\hslash^2}\cdot \frac{1}{n^2}}\]

Azt látjuk, hogy az elektromos kölcsönhatás potenciális energiája az alapállapotban a legnagyobb abszolút értékű, de mindig negatív. Konkrét értéke:

\[E^{\mathrm{pot}}_n=-4,36\cdot {10}^{-18}\ \mathrm{J}\cdot \frac{1}{n^2}\]

Tehát azt látjuk, hogy alapállapotban a potenciális energia pont 2-szer akkora (és negatív értékű), mint a mozgási energia.
 

 Az elektron teljes energiája 

Nézzük most az elektron teljes (totális) energiáját:

\[E^{\mathrm{tot}}=E^{\mathrm{kin}}+E^{\mathrm{pot}}\]

\[E^{\mathrm{tot}}_n=\frac{mk^2e^4}{2\hslash^2}\cdot \frac{1}{n^2}-\frac{mk^2e^4}{\hslash^2}\cdot \frac{1}{n^2}\]

\[\boxed{E^{\mathrm{tot}}_n=-\frac{mk^2e^4}{2\hslash^2}\cdot \frac{1}{n^2}}\]

Mivel nagyságra nézve a mozgási energia fele a potenciálisnak, csak az negatív, ezért az összenergia ugyanakkora nagyságú, mint a mozgási energia, csak vele ellentétes előjelű:

\[E^{\mathrm{tot}}_n=-2,18\cdot {10}^{-18}\ \mathrm{J}\cdot \frac{1}{n^2}\]

vagy $\mathrm{SI}$ prefixummal:

\[E^{\mathrm{tot}}_n=-2,18\ \mathrm{aJ}\cdot \frac{1}{n^2}\]

illetve az atomfizikában szokásos energiamértékegységgel, az $\mathrm{eV}$ elektronvolttal kifejezve:

\[E^{\mathrm{tot}}_n=-13,6\ \mathrm{eV}\cdot \frac{1}{n^2}\]

Az elektron energiaszintjeit méretarányos ábrán ábrázolva:

 

 Átmenetek a stacionárius pályák között 

Két stacionárius pálya közötti átmenet során az elektron az energiakülönbségét leadja vagy felveszi. Amikor magasabb energiájú pályára lép, azt gerjesztésnek nevezzük, amikor pedig alacsonyabb energiájú pályára, azt legerjesztődésnek. Az energia leadása/felvétele történhet fotonok segítségével, de máshogy is: például ütközés révén is kaphat annyi energiát, hogy feljusson valamelyik magasabb energiájú pályára, illetve energiát is veszíthet fotonkibocsátás nélkül (ezt hívjuk sugárzás nélküli legerjesztődésnek.

Az alábbi ábrán azt látjuk, hogy az $n=3$ kvantumszámú, $E_3$ energiájú pályáról az elektron legerjesztődik az $n=2$ kvantumszámú, $E_2$ energiájú pályára, és az $E_3-E_2$ energiakülönbségét kisugározza egy foton formájában:

A következő ábrán ennek a folyamatnak a megfordítottját látjuk: az $n=2$ kvantumszámú, $E_2$ energiaszinten lévő elektron elnyel egy $E_3-E_2$ energiájú fotont, és ennek révén feljut (gerjesztődik) az $n=3$ kvantumszámú, $E_3$ energiájú pályára:

 

 Színképvonal sorozatok a hidrogén színképében 

A hidrogénatom néhány átmenetét mutatja az alábbi, már nem méretarányos ábra:

Mivel az $n=1$ kvantumszámú pálya energiája 4-szer olyan mélyen van, mint az $n=2$ kvantumszámú és 9-szer olyan mélyen, mint azt $n=3$ kvantumszámú, ezért az $n=1$ pályát tartalmazó átmenetek jóval nagyobb energiájúak, mint bármelyik többi. Ehhez hasonlóan ha az elektron az $n=2$ pályáról lép fel bármelyik energiaszintre is, az is jóval nagyobb energiájú, mint amikor az $n=3$ pályáról lép fel. Emiatt az energiakülönbségek a nagyságuk szerint csoportokat alkotnak: az $n=1$ pályát tartalmazók messze a legnagyobb energiájúak, a többi közül az $n=2$ pályát tartalmazók jóal nagyobb energiájúak, mint a maradék,és így tovább. Emiatt az $n=1$ pályát tartalmazó átmenetek a nem látható ultraibolya (UV) tartományba esnek (ez a Lyman-sorozat), a többi közül az $n=2$ -t tartalmazók a már kisebb fotonenergiát jelentő látható fény tartományába (ez a Balmer-sorozat), a többiek pedig már a még kisebb fotonenergiájú infravörös (IR) tartományba. Történelmileg először a látható fény tartományába eső, később Balmer-sorozatnak nevezett színképvonalakat fedezték fel (Balmer egy svájci középiskolai fizikatanár, de nem ő fedezte fel ezeket a színképvonalakat, hanem ő talált rendszert a színképvonalak hullámhosszai között, amit akkor, 1885-ben nem értett senki, az majd csak 1913-ban a Bohr-modell segítségével vált érthetővé). Egy kémiai elemnek spektrumából a látható tartománba eső egyes színképvonalait szokás jelölni görög betűkkel. Például a hidrogén esetében $\mathrm{H_{\alpha}}$, $\mathrm{H_{\beta}}$, $\mathrm{H_{\gamma}}$ a színképvonalak jele.

A hidrogén energiaszintjeit méretarányosan ábrázolva az első 5 spektrum csoport:

Ha ki akarjuk emelni, hogy a Balmer-sorozat a látható fény (VL, visible light) tartomyánab tartozik, akkor így ábrázolhatjuk:

Ha a hidrogén spektrumát a \(\lambda\) hullámhossz tengelyen ábrázoljuk, akkor a spektrum csoportjai így jelennek meg:


 A Bohr-modell eredményei és korlátai 

A Bohr-modell sikerrel leírta:

  • a hidrogénatom energiaszintjeit
  • minden egyelektronos ("hidrogénszerű") ion színképvonalait $(\mathrm{He^{+}, Li^{2+}, Be^{3+}, B^{4+}, C^{5+}})$
  • a normális Zeeman-effektust (a színképvonalak 2 vagy 3 vonalra történő felhasadását mágneses mezőben)

Azonban számos esetet már nem tudott leírni, megmagyarázni:

  • a többelektronos atomok és ionok színképvonalait (mert az elektronok közötti, roppant bonyolult kölcsönhatásokat nem tudja figyelembe venni)
  • a molekulák színképvonalait
  • a kémiai kötéseket
  • az anomális Zeemnan-effektust (amikor mágneses mezőben a spektrumvonalak a normális esetnél több vonalra hasadnak szét, illetve amikor bár a jósolt darabszámú vonalra hasadnak szét, de a felhasadások nem a normális módon függenek a mágneses mezőtől)
  • a színkép finomszerkezetét (nagyon érzékeny spektrométerben a vonalak helyén mágneses mező nélkül is több vonal látszik)


 A Bohr-modell értékelése 

A Bohr-modell a klasszikus fizika egy csúcspontja, de egyben a haláltusája is. Talán a fizikatörténet utolsó nagy elmélete, mely még rendesen felfogható középiskolás szinten. Átvezetett az új világba, ahol az addigi szemléletes képek és folytonos függvények helyett már a nehezen szemléltethető magasszintű matematika (komplex függvények, mátrixok, tenzorok és operátorok) használata elkerülhetetlen, cserébe az elméletek jóslatai rendkívüli egyezésben vannak a tapasztalatokkal.