Gyorskeresés

A csigák viselkedésének alapjai 6665

Nézzük a legegyszerűbb csigát, az állócsigát! Ezt használják például az építkezéseken, hogy egy vödörnyi maltert, betont vagy téglákat feljuttassanak egy felsőbb emeletre, ugyanis az ember számára sokkal kényelmesebb lefelé kifejteni húzóerőt, mint felfelé.

Az állócsiga a tengelyénél (a közepénél) van felfüggesztve, és a kötél egyik szárán a teher van, a másik szárát pedig húzzuk.

A legegyszerűbb esetben a kút vizét is egy állócsigával húzzák fel (az már bonyolultabb, amikor áttétel is van).


 

Állócsiga

Nézzük meg, hogy az állócsiga használatakor mekkora erőt kell kifejtenünk!

Lépésről lépésre gondoljuk végig az ébredő erők nagyságát, az egyszerűség kedvéért abban az esetben, amiközben a teher áll (vagy az emelés egyenletes sebességgel zajlik; tehát a teher gyorsulása nulla). Szintén az egyszerűség kedvéért az ideális esetet vizsgáljuk (vagyis a kötél nyújthatatlan és tömeg nélküli, valamint sehol sincs súrlódás, légellenállás).

Haladjunk sorban tovább:

Az egyszerűség kedvéért a kötél tömegét hanyagoljuk el. Ha a kötélnek lenne tömege, az elbonyolítaná a helyzetet, mert akkor egy függőleges kötél két végén nem ugyanakkora erő ébredne. Hiszen nyugalomban a kötélre a két végén ébredő kötélerőn kívül még hatna a kötélre ható nehézségi erő, és ezen 3 db erőnek kellene kioltania egymást. De ők csak úgy lehetnek összesen nullák, ha a kötélerők különböznek.

A csiga túloldalán ébredő kötélerőt a forgó mozgás dinamikája alapján találhatjuk ki:

Most újra a kötél két végén ébredő erő gondoljuk meg:

Utolsónak már csak a kötél legvégét kell átgondolni:

Összegezve a meggondolásainkat, azt mondhatjuk, hogy az állócsiga csak a szükséges erő irányát változtatja meg:

Azonban ne becsüljük ezt le. Ha egész nap kell húzkodni felfelé a vödröt, akkor nagyon is számít, hogy kényelmetlenül (hajlott derékkal) felfelé kell húznunk a kötelet, vagy egyenesen állva lefelé kell húzni.

Tekintsük át a fontosabb erőket egyetlen ábrán:

Ha nem elégszünk meg azzal, hogy kényelmesebb irányú erőt kell kifejtenünk (például mert a teher olyan nehéz, hogy semmilyen irányban nem tudunk a súlyával azonos nagyságú erőt kifejteni), akkor valahogy el kellene érni, hogy a csiga (csigák) segítségével lecsökkenjen a szükséges erő. Ehhez a csigák közül valamelyiknek mozognia is kell (nemcsak forognia), tehát a teher emelése során a csigának haladó mozgást is kell végeznie, nemcsak a TKP-ja körüli forgó mozgást. Az ilyen csigát mozgócsigának hívjuk.
 

Állócsiga ferde kötéllel húzva

Változtat-e a szükséges húzóerőn, ha az állócsigát használva a kötelet nem függőlegesen húzzuk, hanem ferdén? Nézzük meg lépésről-lépésre ezt is!

Azt már tudjuk, hogy a teherre ható nehézségi erő megjelenik a kötélben a csigánál:

A kötélben mindig csak kötélirányú erő ébredhet (erre merőleges nem, mert oldalirányban a kötél hajlik; oldalirányú erő csak a merev rúdban lehetséges). Mivel a csiga a TKP-ja körüli forgómozgás szempontjából nyugalomban van, és a kötélerőkön kívül más erők nem hatnak rá, amiknek TKP körüli forgatónyomatéka lenne, ezért a két oldalon a kötélerők forgatónyomatékainak egyenlőnek kell lenni. De mivel az erőkarja mindkét kötélerőnek a csiga $r$ sugara, így a kötélerőknek is azonosnak kell lenniük:

Az igazsághoz hozzátartozik, hogy ha a csigára bal oldalon egy függőleges kötélerő hat, a jobb oldalon pedig egy ferde kötélerő, akkor ezek eredőjének lesz vízszintes komponense is. Ha a csiga felfüggesztése merev (rúd), akkor a csiga függőleges marad (mert a felfüggesztés tud vízszintes erőt is kifejteni a csigára, hogy a rá ható erők eredője nulla legyen), de ha a csiga felfüggesztése hajlékony (kötél), akkor a felfüggesztés elhajlik, hogy a ferde tartókötélben ébredő ferde kötélerő kompenzálja a jobb oldali kötélerő vízszintes komponensét:

Mozgócsiga

A csiga a nehézségi erő miatt lezuhanna, ezért mindenképpen kell egy rá ható függőlegesen felfelé mutató erő, ami a lezuhanását megakadályozza. Ha ez középen hat rá, akkor az egy állócsiga lesz, amit az imént tárgyaltunk. Hogyan lehetne máshogy megakadályozni a csiga lezuhanását? Úgy, hogy a csigára ható kötélerő felfelé húzza a csigát. Vagyis a köteleknek nem lefelé kell indulniuk a csigától, hanem felfelé. Ez esetben mindkét kötélerő felfelé hat, így a teher (ami lefelé erőt fejt ki), nem lehet egyik kötélszárhoz sem rögzítve, hanem a terhet a csiga közepéhez kell rögzítenünk. A kötél másik szárát pedig húznunk kell felfelé:

Megint lépésről lépésre haladva nézzük meg, hogy milyen nagyságú és irányú erők ébrednek a rendszerben (megint nulla gyorsulású és ideális esetet tekintve).

Haladjunk tovább:

Álljunk meg egy kis időre, megemészteni a lényeget:

Vonjuk le a tanulságot, ügyelve a körülményekre:

Az állócsigát és a mozgócsigát kombinálhatjuk is.
 

Mozgócsiga és állócsiga

Nézzük az alábbi, egyszerű elrendezést, melyben 1 db állócsiga és 1 db mozgócsiga van. Ez a legegyszerűbb csiga kombináció.

Most már nem kell minden apró lépést megtennünk, hiszen tudjuk, hogy egy állócsiga illetve egy mozgócsiga hogyan viselkedik. Alkalmazzuk az eddigi eredményeinket! (Hívjuk be őket a RAM-ból, és így nagyobb "ugrásokkal", gyorsabban tudunk haladni.)

Összegezzük, mit kaptunk eredményül:

Gyönyörködjünk el egy kicsit abban, hogy már milyen sok mindent értünk:


Állócsiga + mozgócsiga az állócsiga aljára felfüggesztett mozgócsigával

Adja magát, hogy a mozgócsiga mozdulatlan kötelét nem külön rögzítsük felül valami fix ponthoz, hanem ha már az állócsigánk úgyis rögzítve van, ezért az annak alján általában megtalálható kampóhoz vagy egyszerű furathoz is felfüggeszthetjük:

Vajon ez módosítja a szükséges húzóerőt? Menjünk megint lépésról-lépésre! Az egyértelmű, hogy a teherre ható $G$ nehézségi erő megjelenik a mozgócsiga alján:

A mozgócsiga két oldalán lesz két kötélerő. Ezek moszáj, hogy ugyanakkorák legyenek, mivel ez a csiga forgómozgás szempontjából nyugalomban van. Rajzoljuk be az erőket az eddigieknél nagyobb hosszokkal, hogy jobban látható legyen minden:

Ez így biztosan nem lehet nyugalomban, hiszen a csigára 3 erő hat, amiből 2 függőleges, de a jobb oldali kötélerőnek van vízszintes komponense, vagyis a csigának ebben a helyzetben van vízszintes gyorsulása:

Ennek hatására a mozgócsiga elindul balra, és majd ettől a helytől balra fog egyensúlyi helyzetbe kerülni, méghozzá úgy, hogy a kötélerők vízszintes komponensei azonosak legyenek. De mivel a kötélerők azonos nagyságúak (a forgás miatt), ezért a kötélerők függőleges komponensei is azonosak lesznek, tehát a kötelek ugyanakkora szöget fognak bezárni a függőlegessel:

Ennek a két, enyhén ferde $K$ kötélerőnek a $K_y$ függőleges komponensei fognak egyensúlyba lenni a $G$ nagyságú lefelé húzó erővel. De mivel a $K$ kötélerők majdnem függőlegesek, ezért majdnem ugyanakkorák, mint a saját függőleges komponenseik. Így szinte most is igaz, hogy a kötélerők feleakkorák, mint a teher súlya:

Tehát ha külön rögzített fix kötél helyett azt a felette lévő állócsiga aljához rögzítjük, ettől még jó közelítéssel igaz marad, hogy a mozgócsiga köteleiben ébredő erők fele akkorák, mint a közepét lefelé húzó terhelő erő.