Gyorskeresés

A foton "tömege" 7607

Sajnálatos módon számos tankönyvben, kézikönyvben (pl. Holics Fizikába, a Függvénytáblázatban) hibásan az szerepel, hogy a fotonoknak van tömegük, pedig:

A fotonok tömege nulla.

Ahogy ez a Lawrence Berkeley National Laboratory kiadványán is szerepel:

A fenti kép az alábbi poszter egy részlete, mely rákattintva kinagyítható::


 

 Relativisztikus alapok 

A relativisztikus dinamikában:

  • a tömeggel rendelkező testek mindig csak a fénysebességnél kisebb sebességgel mozoghatnak
  • a tömeggel nem rendelkező testek pedig mindig pontosan fénysebességgel haladnak

A fénysebességgel haladó foton nyilván az utóbbi kategóriába tartozik, ezért a fotonoknak nincs (nem lehet) tömegük.

A sok félreértés egyrészt abból fakad, hogy a világ legismertebb képlete, az \(E=mc^2\) bár rövid, így aztán egyszerűnek tűnik, de hogy a benne szereplő betűknek mi is a jelentése, az már nehezebb dió. Az egyenlet azt állítja, hogy egy test nyugalmi energiája a test tömegének és a fénysebesség négyzetének szorzataként áll elő. Az \(E=mc^2\) egyenlet ez alapján olyan testekről mondhat egyáltalán valamit, melyek képesek nyugalmi állapotra, márpedig a fotonok képtelenek erre.

A foton nulla tömege amiatt nehezen emészthető gondolat, mert tudjuk, hogy a fotonnak van impulzusa és energiája is. Csakhogy a newtoni (klasszikus) mechanikában a \(p\) impulzus

\[p=mv\]

alakú, a mozgási (kinetikus) energia pedig

\[E_{\mathrm{kin}}=\frac{1}{2}mv^2\]

alakú, emiatt a klasszikus mechanikában ha egy tesnek nincs tömege, akkor nem lehet se impulzusa, se mozgási energiája. Így a newtoni mechanikán nevelkedett agyunk számára a nulla tömegű fotonnak nem lehet impulzusa és energiája. A megszokás bizony nagy úr. Viszont a relativisztikus mechanikában ez gond nélkül lehetséges, ugyanis ott más az összefüggés az \(m\) tömeg, a \(p\) impulzus (lendület) és az \(E\) energia között, konkrétan az relativiszttikus energiaimpulzus-összefüggés:

\[E^2={\left(mc^2\right)}^2+{\left(pc\right)}^2\]

vagy ugyanez az egyenlet egy gyökvonás után:

\[E=\sqrt{m^2c^4+p^2c^2}\]

ahogy mindezt a Nobel-díjas olasz fizikus Enrico Fermi krétás gyöngybetűivel is megfigyelhetjük:

Látható, hogy egy testnek még \(m=0\) esetben (azaz tömeg nélkül) is lehet energiája:

\[E_{m=0}=\sqrt{p^2c^2}\]

\[E_{m=0}=pc\]

És hát ilyen a foton. Akik ezt a relativisztikus összefüggést nem ismerik, azok bizony életük végéig ragaszkodnak ahhoz, hogy a fotonoknak "kell, hogy legyen tömegük".
 

 Támad az \(E=mc^2\) 

A zavart tovább növelte, hogy a híres

\[E=mc^2\]

egyenletet maga Einstein nevezte úgy, hogy ez a tömeg és az energia ekvivalenciáját (egyenértékűségét) kifejező egyenlet. Csakhogy az "ekvivalencia" szó itt több mindenre is vonatkozhat:

1. jelentés: a "tömeg miatti energia" az "ugyanolyan" energia, mint a többi energiák, tehát azokkal egyenértékű, velük ekvivalens, náluk semmivel sem "hitványabb" energiaféleség. Ez a jelentés igaz is.

2. jelentés: az ekvivalencia mindkét irányban fennálló következtetés (két implikáció konjunkciója), vagyis

HA egy testnek van tömege, AKKOR energiája is van
és egyszerre
HA egy testnek van energiája, AKKOR tömege is van

Csakhogy míg ebből az első következtetés tényleg igaz, a második nem. Ha egy testnek van tömege, akkor tényleg mindenképp van energiája (még nyugalmi állapotban is), hiszen ilyenkor az energiaimpulzus-összefüggésben

\[E^2={\left(mc^2\right)}^2+{\left(pc\right)}^2\]

a jobb oldal első tagja mindenképp pozitív. De a második következtetés már nem igaz, hiszen \(m=0\) esetén az energiaimpulzus-összefüggés az

\[E^2={\left(pc\right)}^2\]

alakot veszi fel, vagyis a tömeg nélküli testnek is van energiája, így az energia meglétéből nem következik, hogy a testnek van (nyugalmi) tömege.

A relativisztikus dinamikában a tömeggel rendelkező részecskék energiájára fennáll:

\[E=\frac{1}{\displaystyle 1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}mc^2\]

ahol \(v\) a tömeggel rendelkező test sebessége. Mit mond ez a fotonról? Semmit, hiszen ez az egyenlet tömeggel rendelkező részecskékről szól. Ha fotonra megpróbálnánk alkalmazni, akkor a foton \(v=c\) sebessége miatt a tört nevezője nulla lenne, amivel finoman szólva problémába ütközünk.

A relativisztikus energiaimpulzus-összefüggés azonban minden részecskére igaz, tehát tömeggel rendelkező (emiatt csak fénysebességnél lassabban haladó) objektumokra is, és tömeg nélküli (emiatt mindig fénysebességgel haladó) objektumokra is.
 

 Einstein miért nem fogalmazott jól? 

Hogyan lehetséges, hogy a nagyon okos Einstein "rosszul" fogalmazta meg az általa felfedezett összefüggést? Erre két magyarázat is kínálkozik:

  • Einstein igazi "magányos farkas" alkat volt, nem pedig jól kommunikáló társasági lény. Nem volt tanár (a nevezetes egyenlet felfedezésekor, 1905-ben svájci szabadalmi ügyvivő, azaz mérnöki beadványokat elbíráló hivatalnok volt), így nem volt jártas abban, hogy abból, amit ő mond, azt majd később hogyan érthetik félre. Einstein a fizikai problémákra nagyon erősen rá tudott koncentrálni, ugyanakkor az empátia nem volt erőssége (mai terminológiával a magas IQ-ja, értelmi intelligenciája bizonyos értelemben alacsony EQ-val, érzelmi intelligenciával párosult).
  • Einstein is esendő ember volt, márpedig amikor egy ember nagy felfedezést tesz, akkor természetes módon a saját nagy felismerésére fókuszál. Az \(E=mc^2\) felfedezése forradalmi gondolat volt, ugyanis a newtoni mechanikában egy pontszerű testnek (részecske) csak a mozgása miatt lehet energiája, ez a mozgási (kinetikus) energia. (Mármint ha az egyszerűség kedvéért a potenciális energia nullszintjét oda vesszük, ahol a test épp tartózkodik.) Márpedig nyugvó részecskék nem szoktak csak úgy a semmiből keletkezni, és ez "esetleg" (jó eséllyel) amiatt van, mert az energiamegmaradás törvénye nem engedi. Vagyis amiattt nem szoktak a semmiből részecskék születni, mert a tömegük megszületéséhez energiabefektetés kellene. De ez Einstein előtt senkinek nem jutott az eszébe. A 19. század végén a Lorentz-féle elektronelmélet kapirgált valami ilyesmit: az elektron tömegét (vagyis inkább a "saját energiáját") megpróbálta visszavezetni az elektron körüli elektromos mező energiájára, amiből Lorentz ki is számította az ún. klasszikus elektronsugarat (amire \(2,8\cdot 10^{-15}\ \mathrm{m}\) adódott). Az einsteini felfedezés forradalmi gondolata az volt, hogy a tömeg önmagában (azaz a newtoni mechanikával ellentétben mozgás nélkül is) energiával jár együtt, méghozzá \(E=mc^2\) energiával, ez a nyugalmi energia, mely egy olyan energiája a testnek, mely mindig, nyugalomban is "nála van". Einstein - a korszakos felfedezésének bűvöletében - arra koncentrált, hogy ez az újfajta "tömeg miatti energia" az addig ismert energiáktól nem különbözik, a meglévő energiafogalommal összhangban van, velük egyenértékű. És eközben nem ügyelt arra, hogy később ezt a szófordulatát esetleg hogyan érthetik majd félre.
     

 Miért nincs tömegmegmaradás? 

Nem véletlen, hogy Einstein sosem beszélt "tömegmegmaradás-törvényéről", pedig ha az energiamegmaradást és a tömeg-energia ekvivalencia fenti 1. értelmezését összegyúrjuk, akkor ezekből egyenesen adódna, hogy lennie kell(ene) tömegmegmaradásnak is. De hát nincs, bármennyire is szemléletes lenne. A Lavoisier által felfedezett tömegmegmaradás kémiai reakciókra vonatkozik, és nagyon nagy pontossággal mérve már nem is teljesül.) Amikor két protonból és 2 neutronból létrejön egy héliumatommag, akkor sem viselkedik megmaradó mennyiségként a tömeg, hanem fellép az ún. tömeghiány (tömegdefektus), és nem azért, mert a foton elvitt volna tömeget, hanem mert a foton elvitt energiát, így a keletkező atommag teljes energiája kisebb, mint a kezdeti négy nukleon összes energiája, és ez \(E=mc^2\) alapján kisebb tömeggel jár együtt. Amikor egy elektron és egy pozitron annihilálódik (szétsugárzódik), olyankor az elektron és a pozitron tömege miatti nyugalmi energia átalakul másfajta energiává, nevezetesen a keletkező két foton sugárzási energiájává. Az energia megmarad, a tömeg nem.
 

 A nyugalom felé 

A probléma eredete a newtoni mechanika mély beágyazódása az elménkbe. Például amikor egy foton ütközik egy elektronnal, akkor meglöki azt, energiát és lendületet ad át neki. Márpedig a newtoni mechanikában ez csak úgy lehetséges, ha a bombázó részecske tömeggel rendelkezik. Sajnos a newtoni mechanikán szocializálódott agyunknak szüksége van a "foton tömegére", mint egy falat kenyérre, hogy elérje a lelki megnyugvást. Az emberi agy pedig keresi a megnyugvást, menekül a kognitív disszonanciáktól. A fizika érettségit összeállító bizottság a jelek szerint elérte a megnyugvást, hiszen 40/2002. Oktatási Miniszteri rendelet mellékletében található fizika érettségi vizsgakövetelményekben - fontos ismeretként - külön nevesítik a foton (nem létező) tömegét:

Sok könyv (például a Holics Fizika) úgy próbál kibújni a (tudat alatt feszítő) ellentmondás alól, hogy egyrészt azt álllítja, a fotonnak van tömege, de egyszerre azt is hozzáteszik, hogy "nyugalmi tömege" az viszont nincs, ami képzavar, hiszen a fotonok számára lehetetlen nyugalomban lenni, mivel a nulla tömegű objektumok csak fénysebességgel haladva tudnak létezni:

Ugyanezt teszi a Műszaki Könyvkiadó Fizikai kislexikonja is:

majd (talán ráérezve, hogy a "foton nyugalmi tömege" mégiscsak egy értelmetlen fogalom) gyorsan hozzáteszi:


 

 1. kísérleti bizonyíték: fényelhajlás a Nap körül 

A foton tömegéhez ragaszkodók (vagy ha úgy tetszik, a foton tömegében hívők) "bizonyítékként" arra is szoktak hivatkozni, hogy a távoli csillagok fénye a Nap mellett elhaladva kissé elgörböl, elhajlik, és hát ez mi mástól lenne, mint a Nap gravitációs vonzásától, tehát a fotonnak rendelkeznie kell tömeggel, hogy a Nap gravitációja létrehozhassa a jelenséget.

Az elhajlási effektus tényleg létezik: minél közelebb halad a fénysugár a Naphoz, annál nagyobb elgörbülést szenved el; a Nap felszínét "súroló" sugarak esetére a mérés extrapolációja \(1,75''\)-et, azaz 1,75 szögmásodpercet ad. A helyzet azonban az, hogy a newtoni mechnikával levezetve ennek az értéknek csak a fele adódik eredményül. (Egyébként a klasszikus mechanikai levezetésben a repülő részecske tömegétől független is az elhajlás mértéke, hiszen például egy 2-szer nagyobb tömegre 2-szer nagyobb gravitációs erő hat, de a 2-szer nagyobb gravitáló tömeg 2-szer nagyobb tehetetlen tömeget is jelent, emiatt 2-szer nehezebb is gyorsítani az eltérítendő testet.) A relativitáselmélet szerint a csillagok mellett elhaladó fény elgörbüléséhez nem kell a fotonnak tömeggel rendelkeznie, mert az effektus háttere az, hogy a csillag "meggörbíti maga körül a téridőt" (ezzel a nagyon nehezen elképzelhető jelenséggel foglalkozik az általános relativitáselmélet), és a foton a görbült téridőben az "ottani egyenes mentén" mozog, számunkra görbének tűnő vonalon. Mivel a két elmélet eltérő jóslatot adott, ez kiváló lehetőséget kínált, hiszen az elgörbülés kimérésével el lehet dönteni, hogy melyik elmélet áll összhangban a tapasztalattal. Az ilyen szituációt hívjuk perdöntő kísérletnek. Mivel az elhajás igen kicsi, ezért csak a Nap "korongjának" széléhez közel megfigyelhető. De a Nap fénye igen erős, ezért szükség van arra, hogy valami kitakarja. Ezt megoldja nekünk a Hold, napfogyatkozáskor. "Brit csillagászok Eddington vezetésével 1919-ben pont ezért utaztak el Brazíliába, mert csak ott volt észlelhető a következő teljes napfogyatkozás, és elsőként akarták elvégezni a perdöntő kísérletet. A légköri viszonyok nem voltak ideáliosak, de a tapasztalat a relativitáselméletet erősítette meg:

 

Tehát ez a csillagászati megfigyelés valóban kísérleti bizonyítékul szolgál, csak nem arra, amire sokan szeretik emlegetni (hogy a fotonnak van tömege, és hogy a foton tömegére hat a Nap gravitációs vonzása), hanem pont arra, hogy nincs tömege, és a térgörbület miatt hajlik el a pályája.
 

 2. kísérleti bizonyíték: foton és elektron ütközése 

A relativisztikus energia-impulzus egyenlet egy fontos következménye, hogy a tömeggel rendelkező részecskék és a tömeggel nem rendelkezők ütközésekor, ha az energiamegmaradásnak és az impulzusmegmaradásnak egyszerre kell teljesülnie, akkor nehézség támad.

Ha egy reakcióban egy kirepülő (ismeretlen tömegű) részecske $E$ energiát visz el, akkor ebből még nem tudjuk azonnal megmondani, hogy egyúttal mennyi az általa elvitt $p$ lendület. Az általa hordozott lendületet ugyanis az

$$E^2=m^2c^4+p^2c^2$$

egyenlet alapján nemcsak az energiától, hanem a részecske tömegétől is függ. Nézzük ezt konkrét példán keresztül!

Legyen 3 részecskénk, például egy fotonunk, egy elektronunk és egy protonunk! Legyen mindegyiküknek ugyanakkora $E$ energiája! Mennyi impulzust hordoznak? A fenti egyenlet alapján közülük a nulla tömegű fotonnak van a legnagyobb a impulzusa, hiszen nála az egész energiát a második, impulzusfüggő $p^2c^2$ tagnak kell kiadnia. Egy ugyanekkora $E$ energiájú elektronnak már kisebb az impulzusa, ugyanis nála már az $m^2c^4$ tag is hozzájárul némileg az energiához, így a $p^2c^2$ tagra már kevesebb ,,hárul''. A protonnak pedig, akinek az elektronhoz képest 1840-szer nagyobb a tömege, már jóval kisebb lesz az impulzusa, hiszen nála az $m^2c^4$ tag jó sok energiát jelent, így a $p^2c^2$ tagra az előző esetekhez képest már jóval kevesebb jut. Tehát azonos energiájú foton, elektron és proton küzül a fotonnak van a legnagyobb impulzusa, a protonnak pedig a legkisebb.

A fentiek miatt van például az, hogy egy szabad (tehát atomhoz, molekulához nem kötött) elektron nem képes egymaga ,,teljesen'' elnyelni egy fotont. Tehát olyan ütközés nem lehetséges, amikor a foton eltalál egy szabad elektront, és az elektron a foton elnyelésével átveszi annak energiáját is és impulzusát is (és nem keletkezik az elnyelődött foton helyett egy másik foton). Más szóval: szabad elektron nem képes fotoeffektusra, hanem csak kötött elektronok képesek erre. Sőt, minél inkább kötött egy elektron, annál nagyobb a fotoeffektus valószínűsége: ezért van, hogy fotoeffektusban leginkább az atomok legalsó K héján lévő elektronok szoktak kilökődni egy atomból. Szabad elektron csak szórni képes a fotont, vagyis a bejövő (bombázó) foton ugyan eltűnhet, de keletkeznie kell egy új, szórt fotonnak is (ez az ún. Compton-szórás). Ugyanis ha az elektron egymaga teljesen (másik foton kibocsátása nélkül) elnyelné a bejövő fotont, azzal egyszerre kellen átvennie annak energiáját és impulzusát is. De ez nem lehetséges! Hiszen a fentiek szerint adott energia esetén a foton lendülete a legnagyobb, míg ugyanennyi energiájú elektron lendülete (az elektron nem nulla tömege miatt) kisebb. Úgy is fogalmazhatunk, hogy az elektron, miközben átveszi a foton energiáját, közben csak kevesebb lendületet tud magával vinni, mint amennyi lendületet a foton hordozott. Tehát ahhoz, hogy átvegye a foton lendületét is, ahhoz szükség van egy harmadik szereplőre, ez szokott lenni egy atommag, amivel a fotont elnyelő elektron kölcsönhatásban van, és "neki lepasszolja" amit nem bír maga átvenni a fotontól (a sok lendületet). Emiatt van, hogy a röntgensugárzás jobban nyelődik a csontokban, mint a lágy szövetekben. Ugyanis minél erősebben kötött egy elektron 8az atommagjához), annál inkább "be tud segíteni" neki partnerként a mag, hogy átvegyen lendületet, ezzel lehetővé tegye, hogy az elektron elnyelje a fotont, létrejöhessen fotoeffektus. Mitől lehet egy elektron erősebben kötött a magjához? Attól, hogy a magja nagy töltésű, azaz az atom nagy rendszámú; a fotoeffektus valószínűsége a rendszám kb. 4-edik, 5-ödik kitevőjével arányos (a pontos érték sok mindentől függ). És mivel a lágy szövetek nagyrészt könnyű kémiai elemekből épülnek fel (hidrogén, szén, nitrogén, oxigén, melyk rendszáma rendre 1, 6, 7, 8), míg a csontokban sok a kalcium (melynek rendszáma 20), ezért a csontokban sokkal nagyobb a valószínűsége a fotoeffektusnak, így a csontokon kevesebb röntgensugár jut át. 

A témát az amerikai Fermilab részecskefizikai kutatóintézet egyik fizikusának, Dr. Don Lincoln-nak a YouTube-videója is kitárgyalja, melynek már a címe rendet vág: "Miért hibás az \(E=mc^2\)?".