Gyorskeresés

A galvánelem és a fogyasztó illesztése 6887

A külső ellenállás (vagy más, a galvánelemre kapcsolt alkatrész, például fényforrás, villanymotor) elektromos teljesítménye számunkra hasznos teljesítménynek számít (\(P_h\)), míg a belső ellenálláson fejlődő hőteljesítmény egyértelműen veszteség (\(P_v\)). Vajon adott galvánelem esetén (adott \(U_0\) és \(R_b\) esetén) mikor (mekkora \(R_k\) külső ellenállás alkalmazáésa esetén) lesz a hasznos teljesítmény a legnagyobb? Írjuk fel a vizsgálandó hasznos teljesítményt:

\[P_h=I^2\cdot R_k\]

Gondoljunk bele, hogy ha az \(R_k\) külső ellenállás nagyon kicsi, akkor nagy \(I\) áram fog folyni, vagyis egy kicsi és egy nagy szám szorzata lesz a hasznos teljesítmény. Ha pedig a külső ellenállás nagy, akkor meg az \(I\) áram lesz kicsi, megint csak egy kicsi és egy nagy számot szorzunk össze. Ez alapján nem tudjuk megállapítani, hogy milyen esetben lesz a hasznos teljesítmény a lehető legnagyobb.

Akkor mit tegyünk? Írjuk fel másképp a hasznos teljesítményt:

\[P_h=U_k\cdot I\]

Az \(I\) áramerősséget többféleképpen is kifejezhetjük az Ohm-törvény segítségével:

\[I=\frac{U}{R}\]

Ugyanis ezt felírhatjuk az egész áramkörre is, ahol a megtermelődő teljes \(U_0\) feszültség az öszes ellenálláson, vagyis az \(R_e\) eredő ellenálláson esik le:

\[I=\frac{U_0}{R_e}\]

De felírhatjuk az \(R_k\) külső ellenállásra is, amire az \(U_k\) kapocsfeszültség jut:

\[I=\frac{U_k}{R_k}\]

De akár a galvánelem \(R_b\) belső ellenállására is, amin az \(U_b\) belső feszültségesés esik:

\[I=\frac{U_b}{R_b}\]

Tegyük ezt a legutóbbit, és arjuk be az új hasznos teljesítmény képletünkbe:

\[P_h=U_k\cdot I\]

\[P_h=U_k\cdot \frac{U_b}{R_b}\]

\[P_h=U_k\cdot {U_b}\cdot \frac{1}{R_b}\]

Ebben a kifejezésben az \(R_b\) belső ellenállás (nem túl hosszú folyamat során) állandónak vehető. Vagyis a hasznos teljesítmény az \(U_k\cdot {U_b}\) szorzaton múlik. Mi a hasznos teljesítmény maximális értékét szeretnénk meghatározni; ehhez az eddigiek alapján a \(U_k\cdot {U_b}\) kifejezés maximumát kell megkeresnünk. Látszólag rosszul állunk, hiszen ha különféle \(R_k\) terhelő ellenállásokat alkalmazunk, akkor mind az \(U_k\), mind az \(U_b\) változni fog. De ezek nem független változók! Hiszen ezek ketten a feszültségeséseket jelentik, vagyis ketten összesen ki kell adják az áramkörben lévő összes "feszültségemelkedést", tehát az \(U_0\) belső feszültséget:

\[U_0=U_k+U_b\]

Márpedig az \(U_0\) a gimnáziumi szintű galvánelem modellben állandó érték, tehát az \(U_k\) és az \(U_b\) csak olyan értékeket vehetnek fel, hogy az összegük mindvégig állandó.

\[U_0=U_k+U_b=konstans\]

Mivel \(U_k\) és \(U_b\) szorzatának keressük a maximumát, és az ő összegükről tudjuk, hogy az állandó, ezért eszünkbe jut(hat) a matematikai tétel, miszerint nemnegatív valós számok mértani és számtani közepére fennáll, hogy:

\[\sqrt {a_1\cdot a_2}\le \frac{a_1+a_2}{2}\]

és az egyenlőség csak abban az esetben teljesül, ha a két szám azonos.

A mi esetünkben most ez így néz ki:

\[\sqrt {U_k\cdot U_b}\le \frac{U_k+U_b}{2}\]

És mivel

\[U_k+U_b=konstans\]

ezért ennek a fele is konstans, vagyis:

\[\sqrt {U_k\cdot U_b}\le \frac{U_k+U_b}{2}=konstans\]

Azt látjuk, hogy az egyenlőtlenség jobb oldala konstans, a bal oldala pedig kisebb vagy egyenlő nála, és a maximumát keressük. Ebből következik, hogy a bal oldal akkor lesz maximális, amikor a bal oldal egyenlő a jobb oldallal. Tehát az \(U_k\cdot U_b\) szorzat (amitől függ a hasznos teljesítmény) akkor maximális, amikor

\[U_k=U_b\]

Mivel a belső és a külső ellenálláson ugyanaz az \(I\) áram folyik át, ezért ha a rajtuk eső feszültség azonos, akkor az ellenállásoknak is azonosnak kell lenniük:

\[R_b=R_k\]

Azt kaptuk tehát, hogy a galvánelemre kapcsolt \(R_k\) külső ellenállás teljesítménye akkor lesz a legnagyobb, ha az a galvánelem  \(R_b\) belső ellenállásával megegyező. Ezt hívjuk illesztésnek.

Ebben az esetben az \(\eta\) hatásfok, vagyis a hasznos teljesítmény aránya az összes teljesítményhez képest:

\[\eta=\frac{P_h}{P_ö}\]

\[\eta=\frac{I^2\cdot R_k}{I^2\cdot \left(R_b+R_k\right)}\]

\[\eta=\frac{R_k}{R_b+R_k}\]

ami az imént kapott \(R_b=R_k\) miatt

\[\eta=\frac{R_k}{2R_k}\]

\[\eta=\frac{1}{2}=50\%\]