A galvánelem és a fogyasztó illesztése 6887
A külső ellenállás (vagy más, a galvánelemre kapcsolt alkatrész, például fényforrás, villanymotor) elektromos teljesítménye számunkra hasznos teljesítménynek számít (\(P_h\)), míg a belső ellenálláson fejlődő hőteljesítmény egyértelműen veszteség (\(P_v\)). Vajon adott galvánelem esetén (adott \(U_0\) és \(R_b\) esetén) mikor (mekkora \(R_k\) külső ellenállás alkalmazáésa esetén) lesz a hasznos teljesítmény a legnagyobb? Írjuk fel a vizsgálandó hasznos teljesítményt:
\[P_h=I^2\cdot R_k\]
Gondoljunk bele, hogy ha az \(R_k\) külső ellenállás nagyon kicsi, akkor nagy \(I\) áram fog folyni, vagyis egy kicsi és egy nagy szám szorzata lesz a hasznos teljesítmény. Ha pedig a külső ellenállás nagy, akkor meg az \(I\) áram lesz kicsi, megint csak egy kicsi és egy nagy számot szorzunk össze. Ez alapján nem tudjuk megállapítani, hogy milyen esetben lesz a hasznos teljesítmény a lehető legnagyobb.
Akkor mit tegyünk? Írjuk fel másképp a hasznos teljesítményt:
\[P_h=U_k\cdot I\]
Az \(I\) áramerősséget többféleképpen is kifejezhetjük az Ohm-törvény segítségével:
\[I=\frac{U}{R}\]
Ugyanis ezt felírhatjuk az egész áramkörre is, ahol a megtermelődő teljes \(U_0\) feszültség az öszes ellenálláson, vagyis az \(R_e\) eredő ellenálláson esik le:
\[I=\frac{U_0}{R_e}\]
De felírhatjuk az \(R_k\) külső ellenállásra is, amire az \(U_k\) kapocsfeszültség jut:
\[I=\frac{U_k}{R_k}\]
De akár a galvánelem \(R_b\) belső ellenállására is, amin az \(U_b\) belső feszültségesés esik:
\[I=\frac{U_b}{R_b}\]
Tegyük ezt a legutóbbit, és arjuk be az új hasznos teljesítmény képletünkbe:
\[P_h=U_k\cdot I\]
\[P_h=U_k\cdot \frac{U_b}{R_b}\]
\[P_h=U_k\cdot {U_b}\cdot \frac{1}{R_b}\]
Ebben a kifejezésben az \(R_b\) belső ellenállás (nem túl hosszú folyamat során) állandónak vehető. Vagyis a hasznos teljesítmény az \(U_k\cdot {U_b}\) szorzaton múlik. Mi a hasznos teljesítmény maximális értékét szeretnénk meghatározni; ehhez az eddigiek alapján a \(U_k\cdot {U_b}\) kifejezés maximumát kell megkeresnünk. Látszólag rosszul állunk, hiszen ha különféle \(R_k\) terhelő ellenállásokat alkalmazunk, akkor mind az \(U_k\), mind az \(U_b\) változni fog. De ezek nem független változók! Hiszen ezek ketten a feszültségeséseket jelentik, vagyis ketten összesen ki kell adják az áramkörben lévő összes "feszültségemelkedést", tehát az \(U_0\) belső feszültséget:
\[U_0=U_k+U_b\]
Márpedig az \(U_0\) a gimnáziumi szintű galvánelem modellben állandó érték, tehát az \(U_k\) és az \(U_b\) csak olyan értékeket vehetnek fel, hogy az összegük mindvégig állandó.
\[U_0=U_k+U_b=konstans\]
Mivel \(U_k\) és \(U_b\) szorzatának keressük a maximumát, és az ő összegükről tudjuk, hogy az állandó, ezért eszünkbe jut(hat) a matematikai tétel, miszerint nemnegatív valós számok mértani és számtani közepére fennáll, hogy:
\[\sqrt {a_1\cdot a_2}\le \frac{a_1+a_2}{2}\]
és az egyenlőség csak abban az esetben teljesül, ha a két szám azonos.
A mi esetünkben most ez így néz ki:
\[\sqrt {U_k\cdot U_b}\le \frac{U_k+U_b}{2}\]
És mivel
\[U_k+U_b=konstans\]
ezért ennek a fele is konstans, vagyis:
\[\sqrt {U_k\cdot U_b}\le \frac{U_k+U_b}{2}=konstans\]
Azt látjuk, hogy az egyenlőtlenség jobb oldala konstans, a bal oldala pedig kisebb vagy egyenlő nála, és a maximumát keressük. Ebből következik, hogy a bal oldal akkor lesz maximális, amikor a bal oldal egyenlő a jobb oldallal. Tehát az \(U_k\cdot U_b\) szorzat (amitől függ a hasznos teljesítmény) akkor maximális, amikor
\[U_k=U_b\]
Mivel a belső és a külső ellenálláson ugyanaz az \(I\) áram folyik át, ezért ha a rajtuk eső feszültség azonos, akkor az ellenállásoknak is azonosnak kell lenniük:
\[R_b=R_k\]
Azt kaptuk tehát, hogy a galvánelemre kapcsolt \(R_k\) külső ellenállás teljesítménye akkor lesz a legnagyobb, ha az a galvánelem \(R_b\) belső ellenállásával megegyező. Ezt hívjuk illesztésnek.
Ebben az esetben az \(\eta\) hatásfok, vagyis a hasznos teljesítmény aránya az összes teljesítményhez képest:
\[\eta=\frac{P_h}{P_ö}\]
\[\eta=\frac{I^2\cdot R_k}{I^2\cdot \left(R_b+R_k\right)}\]
\[\eta=\frac{R_k}{R_b+R_k}\]
ami az imént kapott \(R_b=R_k\) miatt
\[\eta=\frac{R_k}{2R_k}\]
\[\eta=\frac{1}{2}=50\%\]
Ugyanez a probléma deriválással levezetve
\[I=\frac{U_0}{R_e}\]
\[I=\frac{U_0}{R_b+R_k}\]
Írjuk ezt be a hasznos teljesítmény kifejezésébe:
\[P_h=I^2\cdot R_k\]
\[P_h=\frac{{U_0}^2}{{\left(R_b+R_k\right)}^2}\cdot R_k\]
\[P_h={U_0}^2\cdot \frac{R_k}{{\left(R_b+R_k\right)}^2}\]
A kérdésünk az, hogy adott \(U_0\) és \(R_b\) esetén mekkora \(R_k\) esetén lesz ez a kifejezés maximális. Ehhez az ellenállásokat tartalmazó törtnek kell a maximumát megkeresnünk. Bevetünk egy gyakori trükköt: az egyik paramétert az egyszerűség kedvéért 1-nek választjuk. Miért tehetjük ezt meg? Mert kereshetnénk olyan mértékegységet, amiben mérve az a tag pont egységnyi. Gondoljunk arra, mint amikor 1,609 km-es távolságunk van, akkor mondhatjuk, hogy térjünk át mérföldre, mert abban mérve ez a távolság pont 1 mérföld. Válasszuk a fix \(R_b\) értékét 1-nek:
\[P_h={U_0}^2\cdot \frac{R_k}{{\left(1+R_k\right)}^2}\]
Mivel az \(U_0\) belső feszültség állandó, ezért a kifejezés akkor veszi fel a maximumát, ha a
\[\frac{R_k}{{\left(1+R_k\right)}^2}\]
kifejezés maximális.
Könnyebb a szemünknek, ha a függvényváltozónk jele nem \(R_k\), hanem inkább a jól megszokott \(x\), tehát keressük az
\[f\left(x\right)=\frac{x}{{\left(1+x\right)}^2}\]
függvény maximumát. Szélsőérték (akár minimum, akár maximum) ott lehet, ahol az első derivált nulla, ezért lederiváljuk a függvényt:
Alkalmazzuk a hányados függvény deriválási szabályát:
\[{\left(\frac{f}{g}\right)}'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}\]
\[{\left(\frac{x}{{\left(1+x\right)}^2}\right)}'=\frac{1\cdot {\left(1+x\right)}^2-x\cdot 2\cdot \left(1+x\right)}{{\left(1+x\right)}^4}\]
\[{\left(\frac{x}{{\left(1+x\right)}^2}\right)}'=\frac{1+2x+x^2-2x-2x^2}{{\left(1+x\right)}^4}\]
\[{\left(\frac{x}{{\left(1+x\right)}^2}\right)}'=\frac{1-x^2}{{\left(1+x\right)}^4}\]
\[{\left(\frac{x}{{\left(1+x\right)}^2}\right)}'=\frac{\left(1+x\right)\cdot \left(1-x\right)}{{\left(1+x\right)}^4}\]
\[{\left(\frac{x}{{\left(1+x\right)}^2}\right)}'=\frac{\left(1-x\right)}{{\left(1+x\right)}^3}\]
A deriváltnak a szélsőértékben nullának kell lennie:
\[\frac{\left(1-x\right)}{{\left(1+x\right)}^3}=0\]
Egy tört akkor nulla, ha a számlálója nulla:
\[1-x=0\]
\[x=1\]
Az $x$ jelölést az $R_k$ helyett vezettük be, tehát
\[R_k=1\]
de már korábban úgy választottunk mértékegységet, hogy
\[R_b=1\]
teljesüljön. Vagyis azt kaptuk, hogy
\[R_b=R_k\]
esetén lehet szélsőérték. Ha ez tényleg maximum, akkor a második derivált negatív kell legyen ezen az imént kapott $x=1$ helyen. Hogy erről meggyőződjünk, állítsuk elő a második deriváltat is:
\[{\left(\frac{x}{{\left(1+x\right)}^2}\right)}''={\left(\frac{\left(1-x\right)}{{\left(1+x\right)}^3}\right)}'\]
Ezt megint a hányados függvény deriválási szabályával tudjuk elvégezni:
\[{\left(\frac{f}{g}\right)}'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}\]
\[{\left(\frac{\left(1-x\right)}{{\left(1+x\right)}^3}\right)}'=\frac{-1\cdot {\left(1+x\right)}^3-\left(1-x\right)\cdot 3\cdot \left(1+x\right)}{{\left(1+x\right)}^6}\]
\[{\left(\frac{x}{{\left(1+x\right)}^2}\right)}^{''}=\frac{-1\cdot \left(1+3x+3x^2+x^3\right)-3\cdot \left(1-x^2\right)}{{\left(1+x\right)}^6}\]
\[{\left(\frac{x}{{\left(1+x\right)}^2}\right)}^{''}=\frac{-1-3x-3x^2-x^3-3+3x^2}{{\left(1+x\right)}^6}\]
\[{\left(\frac{x}{{\left(1+x\right)}^2}\right)}^{''}=\frac{-x^3-3x-4}{{\left(1+x\right)}^6}\]
Ezt kell megnézni az $x=1$ helyen:
\[\frac{-x^3-3x-4}{{\left(1+x\right)}^6}=\frac{-1^3-3-4}{{\left(1+1\right)}^6}=\frac{-8}{64}=-\frac{1}{8}\]
Ami tényleg negatív, úgyhogy a szélsőérték valóban lokális maximumhely.