Gyorskeresés

A Kepler-törvények 15003

 Bevezető 

Tycho de Brache a 16. század végének legnagyobb észlelő csillagásza volt (csillagászati megfigyelésre távcsövet először Galilei használt 1609-ben). Halála előtt pár hónappal csatlakozott hozzá tanítványként, asszisztensként Kepler, akinek Brache halála után sikerült megszereznie az örökösöktől Brache több évtizednyi precíz megfigyelési adatait, ami "aranybánya" volt számára. Kepler célja az volt, hogy értelmezze a bolygók látszólagos mozgását az új, heliocentrikus világképben. A helyzetet igencsak megbonyolította, hogy ha a Föld is kering a Nap körül, meg a megfigyelt bolygó is (pl. Mars), akkor a látszólagos mozgás a két keringő mozgás "egymásra rakódása". Kepler részéről komoly szellemi teljesítmény volt, hogy a Marsnak a Földről látható látszólagos mozgásából "visszafejtette", hogy "távolról nézve" (objektíve) milyen alakú a pályája. Ehhez a bravúros transzformációhoz Keplert három szerencsés körülmény segítette:

  • a Föld keringési pályája olyan ellipszis, mely alig tér el a körtől (márpedig ez, hogy a Földön lévő megfigyelő Nap körüli mozgása egyszerűbb, ez könnyebbé teszi a helyzetet)
  • a fő problémát jelentő (az állócsillagokhoz képest hurokszerű illetve S-alakú pályákon bolyongó) Mars nagyon gyakran jól megfigyelhető a Földről (míg pl. a Merkúr vagy a Vénusz csak korlátozottan, naponta csak egy rövid ideig, napkelte előtt vagy napnyugta után láthatók)
  • a Mars Nap körüli pályája "igazi" ellipszis, tehát érdemben eltért a körtől (naptávolban 20%-kal messzebb van, mint napközelben), így az "elliptikusság" jól megfigyelhető a mozgásán

Kepler 1609-ben adta közre bolygómozgással kapcsolatos első és második törvényét, melyet 10 évvel később követett a harmadik. Kepler ezen törvényeit a Nap körül keringő bolygókra mondta ki, de valójában bármilyen égi objektumra érvényesek, ha az lényegében csak egy másik égitest centrális gravitációs mezejét érzékeli (azaz amikor a vonzócentrum által kifejtett gravitációs erőhöz képest a többi égitest által rá kifejtett erő elhanyagolhatóan kicsi). Tehát a Kepler-törvények

  • a Nap körül keringő bolygókra, kisbolygókra (aszteroidák), törpebolygókra (pl. Pútó), üstökösökre és minden, Nap körül keringő törmelékre (meteoroid)
  • a Föld körül keringő Holdra, műholdakra, űrhajókra, űrállomásra, sőt még az űrszemét apró darabkáira is
  • a többi bolygó körül keringő holdakra (a Jupitermek kb. 80 holdja van) és törmelékre (pl. a Szaturnusz gyűrűit alkotó ködarabok)

Kepler próbálta megérteni, hogy miért, hogyan alakulnak ki a bolygók ellipszispályái, de szegénynek esélye sem volt, mivel a felelőst, a gravitációt, Newton csak Kepler 1630-as halála után 56 évvel fedezte fel.

A Kepler-törvények nem egzakt természettörvények, hanem közelítő jellegűek, ugyanis tökéletes ellipszispálya csak akkor adódik ki, ha

  • a vonzócentrumon kívül semmi más nem fejt ki erőt a bolygóra
  • a bolygó tömege elhanyagolhatóan kicsi a vonzócentrumhoz képest

A bolygómozgás nagyon pontos leírása azonban még a Newton-féle gravitációs törvény segítségével sem sikerült, azt az Einstein-féle általános relativitáselmélet adja meg.
 

 Kepler 1. törvénye 

Ehhez először tisztáznunk kell, mi az ellipszis: olyan pontok halmaza a síkban, melyek két adott ponttól (az \(F_1\) és \(F_2\) fókuszpontoktól, más néven gyújtópontoktól) azonos "távolságösszegre" vannak:

Ellipszis úgy hozható létre egy körből, hogy egyik irányban "egyenletesen összepréseljük" (lineáris transzformáció). A kör olyan speciális ellipszis, melynél a két fókuszpont egybeesik. 

Kepler 1. törvénye: a bolygók ellipszispályán keringenek a Nap körül, és az ellipszis egyik fókuszpontjában található a Nap.

Az ellipszisnek két szimmetriategelye van, melyeknek az ellipszisen belüli szakaszát nagytengelynek illetve kistengelynek hívjuk (ami zavaros elnevezés, hiszen a tengelyek végtelen hosszú egyenesek szoktak lenni, míg ezek véges hosszú szakaszok):

Az égi mechanikában ezeknek a szakaszoknak a fele lesz fontos, amiket külön betűkkel is jelölük:

  • a nagytengely fele az \(a\) jelű fél nagytengely
  • a kistengely fele a \(b\) jelű fél kistengely

A Föld ellipszispályája majdnem kör, a Föld-pálya nagytengelye mindössze \(0,0014\%\)-kal nagyobb, mint a kistengelye. A Marsnál a nagytengely már \(0,44\%\)-kal nagyobb a kistengelynél, a Halley-üstökösnél pedig már 3,9-szeres a tengelyek aránya.

Az ellipszispályán keringő égitest fontos két állapota, amikor a legközelebb van a vonzócentrumához, illetve amikor a legtávolabb.van tőle. Nap körüli keringés esetén ezeket naptávolban és napközelben kifejezéssel illetjük, és a hozzájuk tartozó távolságokat aphéliumnak és perihéliumnak hívjuk (az aphélium kiejtése aphélium, nem pedig "afélium").

A Föld aphéliuma \(3,4\%\)-kal nagyobb, mint a perihéliuma, a Marsé már \(20\%\)-kal, a Halley-üstökös pedig a napközeli távolságánál majdnem 60-szor messzebbre is eltávolodik, mire visszakanyarodik a Nap felé. Föld körül keringő objektumok esetén a legnagyobb távolság neve apogeum, a legkisebbé perigeum.
 

 Kepler 2. törvénye 

Ehhez először be kell vezetnünk két fogalmat:

  • vezérsugár: Napot és a bolygót összekötő szakasz
  • területi sebesség: a vezérsugár által egységnyi idő (1 másodperc) alatt súrolt terület

Kepler 2. törvénye: egy bolygó területi sebessége a keringése során állandó, vagyis a vezérsugara azonos időtartamok alatt azonos nagyságú területeket súrol.

A második törvény hátterében a bolygóra fennálló perdületmegmaradás húzódik meg. Ennek feltétele mindig az, hogy a testre ható erőknek vagy ne legyen forgatónyomatéka (vagy azok oltsák ki egymás forgató hatását). A bolygóra a Kepler-féle közelítésben csak a Nap által kifejtett gravitációs vonzóerő hat, aminek amiatt nincs forgatónyomatéka a Nap középpontjába vett forgáspontra nézve, mert a bolygóra ható gravitációs vonzerő hatásvonala mindig átmegy a forgásponton, ezért a Nap által kifejtett gravitációs erő erőkarja minden pillanatban nulla.

A második törvény szemléletesen azt jelenti, hogy a bolygó a Nap felé közeledve folyamatosan egyre nagyobb keringési sebességgel halad, és a napközeli pontban (perihélium) éri el a sebessége maximumát. Onnantól egyre lassulva távolodik a Naptól, és naptávolban (aphélium) halad a leglassabban.

A keringési sebesség ingadozása többféleképpen is értelmezhető (gimis szinten persze csak a tendenciák; a mennyiségi leíráshoz már egyetemi matek kell):

  • a gravitációs erő komponensei segítségével
  • a perdületmegmaradással
  • a mechanikai energia megmaradásával
     

 A gravitációs erő komponensei segítségével 

A két szélső pontot (a napközelt és naptávolt) leszámítva a Nap gravitációs vonzerejének mindig van a bolygó \(v_{\mathrm{k}}\) kerületi sebességének irányába eső komponense. Ez a Naphoz közeledés során végig a sebességgel azonos irányába hat, ezért egyfolytában növeli a bolygó sebességét, míg a Naptól távolodás során folyamatosan a sebességgel ellentétes irányú, ezért szüntelenül csökkenti a keringési sebességet. Ezért a napközeltől a naptávolig (a Naptól távolodása során) a bolygó sebessége egyfolytában csökken, míg a keringés másik felében (a Naphoz közeledve) a sebesség szüntelenül növekszik. 


 

 A perdületmegmaradás segítségével 

Pontszerű test (amilyen most a Nap körül keringő bolygó) perdülete (impulzusnyomatéka) a lendületének (impulzusának) és a lendület \(k\) karjának szorzata:

\[N=p\cdot k\]

\[N=mv\cdot k\]

ahol a \(k\) kar az impulzusvektor egyenesének távolsága a keringési centrumtól.

A Naphoz közeledve az impulzus \(k\) karja egyre csökken, így az impulzusmomentum megmaradásához az \(mv\) impulzusnak növekednie kell, de a bolygó \(m\) tömege a keringés hatására nem változik, így a bolygó \(v\) sebességének muszáj növekednie. Az impulzus karja a napközelben (perihélium) a legkisebb, és naptávolban (aphélium) a legnagyobb, ezért napközelben halad a leggyorsabban a bolygó, és naptávolban a leglassabban.


 

 A mechanikai energia megmaradása segítségével 

A keringés során a bolygó mechanikai energiája megmarad. Ennek feltétele ugyanis, hogy a testre csak konzervatív erők hassanak (disszipatív erők, mit a súrlódás, légellenállás ne), és ez itt teljesül, mert a világűr elég nagyfokú vákuumot jelent, a gravitációs erő pedig konzervatív. A bolygó mechanikai energiája a mozgási energia és a gravitációs potenciális energia összege:

\[E^{\mathrm{mech}}=E^{\mathrm{mozg}}+E^{\mathrm{gr.\ pot}}\]

Az energiafajtákat beírva:

\[E^{\mathrm{mech}}=\frac{1}{2}mv^2-f\frac{Mm}{r}\]

Ha a bolygó közeledik a Naphoz, akkor az \(r\) távolsága csökken, így a gravitációs potenciális energia törtje egyre nagyobb abszolút értékű lesz, de mivel az előjele (a vonzás miatt) negatív, így az egyre nagyobb negatív szám egyre kisebb értéket jelent, tehát csökkenést. A mechanikai energia úgy maradhat meg, ha a gravitációs potenciális energia csökkensét a mozgási energia növelése kompenzálja.

A mechanikai energiát nevezhetjük összenergiának is, ezzel a jelöléssel az energiaviszonyokat így szemléltethetjük a vonzócentrumtól mért \(r\) távolság függvényében:

 

Ha a bolygó távolodik a vonzócentrumtól, akkor a (negatív előjelű) gravitációs potenciális energiája növekszik, a mozgási energiája emiatt csökkenni kénytelen:

Vajon legfeljebb milyen messzire tud eltávolodni a vonzócentrumtól, illetve milyen közel tud hozzá jutni? Az energiamegmaradás alapján semmi akadálya nem lenne, hogy olyan messzire távolodjon el, ahol a sebessége már "elfogy".

Csakhogy ez nem lehetséges, mert ha a távolban megállna, akkor a perdülete (impulzusnyomatéka) nullává válna, márpedig arra érvényes a megmaradási tétel, az a kezdeti értéktől nem térhet el a keringés során. Ugyanezen okból nem lehetséges az sem, hogy akármilyen közel kerüljön a bolygó a vonzócentrumához. Ezért a kezdeti feltételek (a kezdeti távolság, a sebesség iránya, nagysága) megszabják, hogy mennyi lehet a minimális és maximális távolság a vonzócentrumtól.

Ha a centrális gravitációs mezőben elindított test \(m\) tömege elhnanyagolható a vonzócentrum \(M\) tömegéhez képest, akkor a maximális távolság képlete a mechanikai energia megmaradása és a perdületmegmaradás segítségével levezethető a kezdeti \(v\) sebességből, annak irányából, a vonzócentrumtól vett kezdeti \(r\) távolságból és a vonzócentrum \(M\) tömegéből (az \(m\) valójában kiesik, csak így egyszerűbb felírni az egyenletet).

\[r_{\mathrm{max}}=\frac{1}{\left| E\right|}\left[fMm+\sqrt{{(fMm)}^2+\frac{2NE}{m}}\right]\]

Itt \(\left| E\right|\) az összenergia abszolút értéke, amiben:

\[E=\frac{1}{2}m{(v_r+v_{\varphi})}^2-\frac{Mm}{r}\]

ahol \(v_r\) a sebesség radiális komponense (a vezérsugár irányába eső sebességösszetevő), \(v_{\varphi}\) pedig a sebességnek a vezérsugárra merőleges irányú ún. azimutális komponense.

Az \(N\) pályaperdület pedig:

\[N=mv_{\varphi}r\]

A minimális távolság képlete csak az egyik tag előjelében tér el ettől:

\[r_{\mathrm{max}}=\frac{1}{\left| E\right|}\left[fMm+\sqrt{{(fMm)}^2-\frac{2NE}{m}}\right]\]

 

 Kepler 3. törvénye 

A 3. Kepler-törvény egy adott vonzócentrum körül különböző ellipszispályákon keringő objektumok átlagos keringési távolságai (az \(a\) félnagytengelyek) valamint a \(T\) keringési idők (periódusidők) között teremt kapcsolatot :

\[\frac{a^3}{T^2}=\mathrm{állandó}\]

Ez alapján ha egy objektum 2-szer (illetve 3-szor) nagyobb félnagytengelyű pályán kering, mint a másik objektum, akkor az ő periódusideje \(\sqrt{2^3}=\sqrt{8}\approx 2,83\)-szor (illetve \(\sqrt{3^3}=\sqrt{27}\approx 5,2\)-szer) nagyobb lesz.

A Naprendszer bolygóit nézve, a keringési időket földi év egységben, a félnagytengelyeket pedig a Föld pályájának félnagytengelye egységben (ún. Csillagszati Egység, Asronomical Unit, A.U.) mérve:

bolygó \(a\)
\((\mathrm{Cs. E.})\)
\(a^3\) \(T\)
\((\mathrm{év})\)
\(T^2\) \(\displaystyle \frac{a^3}{T^2}\)
Föld 1 1 1 1 1
Mars 1,523 3,54 1,88 3,53 1
Jupiter 5,2 140,6 11,86 140,7 1
Plútó 39,48 61 536 247,9 61 474 1

A Kepler 3. törvényben szereplő állandó értéke a vonzócentrum $M$ tömegével egyenesen arányos:

\[\frac{a^3}{T^2}=\frac{fM}{4\pi^2}\]