Gyorskeresés

A kerületi gyorsulás és a "teljes" gyorsulás 7324

Nézzük a legegyszerűbb görbevonalú mozgást, a körmozgást! A sebességvektornak általános esetben változhat a nagysága is, és az iránya is. Például ha egy körhinta álló helyzetből fokozatosan felgyorsul:

akkor egyrészt jelentkezik egy gyorsulás, ami a sebességvektor irányának megváltozása miatt lép fel, ez a centripetális gyorsulás:

\[a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{r}=r\cdot \omega^2=v\cdot \omega\] 

De a vektoroknak nemcsak iránya, hanem nagysága is van, és hát az is megváltozhat. A sebességvektor nagyságának megváltozását (a sebességnagyság növekedését vagy csökkenését) mutatja meg a kerületi gyorsulás fogalma. Nézzük ezt részletesen!

A körmozgást végző test \(v\) (kerületi) sebessége és \(\omega\) szögsebessége között fennáll:

\[v=r\cdot \omega\]

a megváltozásokra pedig fennáll:

\[\Delta v=r\cdot \Delta \omega\]

A \(v\) sebesség nagyságának változási ütemét

\[a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\]

alapján az egységnyi időre eső sebességváltozással jellemezzük. Ehhez osszuk el az előbbi egyenletet \(\Delta t\)-vel:

\[\Delta v=r\cdot \Delta \omega\]

\[\frac{\Delta v}{\Delta t}=r\cdot \frac{\Delta \omega}{\Delta t}\]

A bal oldalon a sebességvektor nagysága miatti gyorsulás állt elő, amit, mivel a (kerületi) sebességgel párhuzamos irányú, ezért \(a_{\mathrm{k}}\) kerületi gyorsulásnak nevezünk (más néven \(a_{\mathrm{é}}\) érintő gyorsulásnak, hiszen mindig az érintő irányába mutat, illetve szokás még \(a_{\mathrm{tg}}\) tangenciális gyorsulásnak is hívni, mert latinul a tangens érintőt jelent).

\[a_\mathrm{k}=r\cdot \frac{\Delta \omega}{\Delta t}\]

A jobb oldal második tagja pedig az időegységre eső szögsebesség-változás, amit \(\beta\) szöggyorsulásnak nevezünk:

\[\beta=\frac{\Delta \omega}{\Delta t}\]

A szöggyorsulás mértékegységét levezethetjük az alkotóelemei mértékegységeiből:

\[\left[\beta\right]=\frac{\left[\Delta \omega\right]}{\left[\Delta t\right]}=\frac{\displaystyle \frac{1}{s}}{s}=\frac{1}{s^2}\]

annak mintájára, ahogy a gyorsulás az időegységre eső sebességváltozás. Összefoglalva azt kaptuk, hogy

\[a_\mathrm{k}=r\cdot \beta\]

Nézzünk egy konkrét esetet: a körhintát (benne a kisgyerekkel) álló helyzetből felpörgeti egyre nagyobb sebességre az egyik, ivadékgondozást végző szülő. A kisgyerek sebességének nagysága másodpercenként \(2\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\) ütemben növekszik. Ez a gyorsulás (mivel a sebesség nagyságának változását mutatja) mindig sebesség irányú, vagyis érintő irányú:

Ezt hívjuk \(a_\mathrm{k}\) kerületi gyorsulásnak .

Mivel most a kisgyerek körmozgást végez, ezért fellép nála egy másik gyorsulás is, ami a sebességvektora irányának változását mutatja meg; ez a fent tárgyalt \(a_{\mathrm{cp}}\) centripetális gyorsulás, ami mindig a körpálya középpontja (centruma) felé mutat.

Legyen mondjuk a sugár

\[r=1,5\ \mathrm{m}\]

a sebesség nagysága pedig ebben a pillanatban 

\[v=3\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]

Ekkor a centripetális gyorsulás:

\[a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{r}\]

\[a_{\mathrm{cp}}=\frac{{\left(3\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}\right)}^2}{1,5\ \mathrm{m}}\]

\[a_{\mathrm{cp}}=6\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]

Az ábrán jelölve:

A test (kisgyerek) teljes \(\vec{a}\) gyorsulása az \({\vec{a}}_{\mathrm{cp}}\) centripetális és az \({\vec{a}}_{\mathrm{k}}\) kerületi gyorsulás vektori összege, aminek nagyságát a Pitagorasz-tétellel számíthatjuk ki:

\[a^2={a^2}_{\mathrm{cp}}+{a^2}_{\mathrm{k}}\]

\[a^2={\left(6\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\right)}^2+{\left(2\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\right)}^2\]

\[a^2=36\ \mathrm{\frac{m^2}{s^2}}+4\ \mathrm{\frac{m^2}{s^2}}\]

\[a^2=40\ \mathrm{\frac{m^2}{s^2}}\]

\[a=\sqrt{40}\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]

Összefoglalva:

  \[\vec{a}_{\mathrm{cp}}\]centripetális
gyorsulás
\[\vec{a}_{\mathrm{k}}\]kerületi
gyorsulás
Mit változtat a
\(\vec{v}\) sebességvektoron?
\(\vec{v}\) irányát \(\vec{v}\) nagyságát
Milyen irányú? \[\vec{a}_{\mathrm{cp}}\ \bot \ \vec{v}\] \[\vec{a}_{\mathrm{k}}\ \parallel \ \vec{v}\]
Mekkora a nagysága? \[a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{r}=r\cdot {\omega}^2\] \[a_{\mathrm{k}}=r\cdot \beta\]
Körmozgáskor
milyen esetben lép fel?
mindig

csak ha \(\left|\vec{v}\right|\) változik

Miért zavaros fogalom némileg a kerületi sebesség?

Látjuk, hogy egy körmozgást (illetve bármilyen görbevonalú mozgást) végző test \(\vec{a}\) (teljes) gyorsulása két részből tevődik össze: az \(\vec{a}_{\mathrm{k}}\) kerületi gyorsulásból és az \(\vec{a}_{\mathrm{cp}}\) centripetális gyorsulásból, méghozzá ezek vektori összege. Vagyis a kerületi gyorsulás a test gyorsulásának egy része; annak egyik komponense, összetevője. Ez alapján a kerületi sebesség kifejezést hallva logikusan gondolkodik, aki úgy képzeli, hogy a kerületi sebesség a test sebességvektorának az egyik komponense, összetevője, és a sebességnek van valami másik komponense is. Márpedig ez nincs így, hiszen a test sebessége mindig a pálya érintő egyenesének irányába mutat; ezért  a kerületi sebesség azonos a test sebességével. Emiatt a kerületi sebesség fogalom előnye, hogy rávilágít a kerületi sebességnek, de a gimnáziumi fizikában nnincs másmilyen sebesség, amit a jelzős szerkezet sugall.

(Egyetemi fizikában léteznek másfajta jelzőjű sebességek is, például a csillagászatban egy égitest sebességvektorát képzeletben felbontjuk két komponensre:

  • a tőlünk az égitesthez húzott helyvektor, ún. rádiuszvektor irányába eső radiális sebességre
  • valamint az erre merőleges, oldalirányba mutató ún. látszó sebességre (mely az állócsillagokhoz képesti elmozdulásért felelős)

A látszó sebesség jól mérhető közeli objektumoknál (lásd például a Mars hurokszerű mozgását az állócsillagokhoz képest), míg a nagyon távoli objektumok oldalirányú elmozdulása igen kicsi, így lényegében mérhetetlen. Viszont a radiális sebesség még a nagyon távoli égitesteknél is jól mérhető a Doppler-féle frekvenciaeltolódás révén.)