Gyorskeresés

A kozmikus sebességek (szabad mozgások centrális gravitációs mezőben) 14076

A Föld gravitációs mezeje centrális elrendezésű; az erővonalak mind a Föld középpontja felé mutatnak: De ha a földfelszínen eldobunk egy kavicsot, akkor a csupán néhány méteres mozgás során a nehézségi erőtér nagy pontossággal homogénnek vehető, mindig függőlegesen lefelé hat és állandó nagyságú:

Ilyenkor amiatt tekinthető homogénnek a gravtitációs mező, mert a néhány méternyi mozgás során a Föld \(\approx 6400\ \mathrm{km}\) sugarához képest csak jelentéktelen mértékben mozdultunk el:

  • a kicsi oldalirányú elmozdulás miatt a gravitációs erő iránya marad nagy pontossággal változatlan
  • a kicsi függőleges elmozdulásmiatt pedig a Föld középpontjától való távolságunk nem változik meg, ezért a gravitációs erő nagysága marad nagy pontossággal változatlan

Ha a légellenállást elhanyagoljuk, akkor homogén mezőben az eldobott kő mozgása parabolapálya mentén zajlik:
 

Ilyen körülmények között, ha ugyanakkora, de különböző irányú sebességgel dobunk el egy követ, akkor \(45^\circ\) esetén jut el a legmesszebbre. Már Newton elképzelte, hogy vajon mi történne, ha egy kavicsot olyan gyorsan dobnánk el (vagy a nagy sebesség érdekében inkább egy ágyúgolyót lőnénk ki) vízszintesen egy hegyről, hogy a becsapódás már annyira messze következne be, ami a Föld méretével összevethető. Ehhez természetesen egy légkör nélküli égitestre kellene elmennünk, vagy pedig a hegynek olyan magasnak kellene lennie (mondjuk \(100\ \mathrm{km}\) magasnak), ahol a légkör már annyira ritka, hogy a légellenállás már nagy sebessségnél se lenne jelentős. Newton az alábbi rajzot készítette az elképzeléséről:

A végtelen sokféle keringési pályákat kétféle nevezetes sebességgel tudjuk csoportokra bontani van:

\(v_{\mathrm{I}}\)

Az első kozmikus sebesség (körsebesség, orbitális sebesség; orbital velocity) akkora, sugárra merőleges sebesség, amitől a test körpályán fog keringeni a vonzócentrum körül. A Föld esetében, a feszínhez közeli (pár száz kilométeres) magasságában \(\displaystyle v_{\mathrm{I}} \approx 7,9\ \mathrm{\frac{km}{s}}\approx 29\ 000\mathrm{\frac{km}{h}}\). Ilyenkor a test mindig "pont annyit süllyed, amennyit a vízszintes elmozdulása miatt alatta a földfelszín íve lejjebb jut", ezért hiába zuhan, nem csökken a Földtől való távolsága, hanem folyamatosan "körbezuhanja a Földet". Mivel (a földfelszín közelében) egy függőleges kezdősebesség nélküli szabadon eső test függőleges süllyedése az első másodpercben \(\displaystyle \mathit{\Delta}y=\frac{1}{2}gt^2 \approx 5\ \mathrm{m}\), ezért az első másodpercben a vízszintesen megtett \(\approx 7900\ \mathrm{m}\) során \(\approx 5\ \mathrm{m}\)-t süllyed.  

\(v_{\mathrm{II}}\)

A második kozmikus sebesség (szökési sebesség; escape velocity) az a legkisebb (határ)sebesség, amivel tetszőleges irányba elindítva a test már soha nem fog visszatérni a vonzócentrum közelébe, hanem "örökké" távolodni fog tőle, és majd csak a végtelen távolban áll meg. A Föld esetében \(\displaystyle v_{\mathrm{I}} \approx 11,2\ \mathrm{\frac{km}{s}}\approx 40\ 000\mathrm{\frac{km}{h}}\)


Közös ábrán összefoglalva a lehetséges pályákat:

Táblázatban összefoglalva:

a \(v_0\)
nagysága
a pálya
alakja
a Föld TKP-ja
\(v_0<v_{\mathrm{I}}\) ellipszis a távolabbi fókuszpontban
\(v_0=v_{\mathrm{I}}\) spec. ellipszis:
kör
az egybeeső fókuszpontokban
\(v_{\mathrm{I}}<v_0<v_{\mathrm{II}}\) ellipszis a közelebbi fókuszpontban
\(v_0=v_{\mathrm{II}}\) parabola a fókuszpontban
\(v_0>v_{\mathrm{II}}\) hiperbola  a közelebbi fókuszpontban

A pályák mindegyike (kör ellipszis, parabola, hiperbola) a kúpszeletek közé tartozik, melyek úgy jönnek létre, hogy egy síkkal elmetszünk egy kettőskúpot; a sík iránya és helyzete határozza meg, hogy milyen alakzat jön létre a metszéspontokból.


a kép forrása: https://www.onlinemathlearning.com
 

 Az első kozmikus sebesség levezetése 

Körmozgást végző testnek mindig van a sebességére merőleges irányú, ezért a körpályájának középpontja felé mutató centripetális gyorsulása, melynek nagysága:

\[a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{r}=r\omega ^2=v\omega\]

Egyenletes körmozgás esetén (amilyen itt is van), másik gyorsulás (érintő, tangenciális irányú) nincsen. Ezt a centripetális gyorsulást valamilyen erőnek kell okoznia, erre a feladatra pedig itt a vonzócentrum által kifejtett \(F_{\mathrm{gr}}\) gravitációs erő:

Írjuk fel a dinamika alapegyenletét centripetális irányra:

\[\Sigma F_{\mathrm{cp}}=m\cdot a_{\mathrm{cp}}\]

\[\Sigma F_{\mathrm{cp}}=m\frac{v^2}{r}\]

Lássuk tisztán, hogy az itt szerepló \(r\) a keringő test (űrhajó, űrállomás, műhold) középpontjának és a vonzócentrum (égitest) középpontjának távolsága, tehát ne automatikusan a Föld sugarára gondoljunk!

Írjuk be, hogy a centripetális gyorsulást egyedül, egymaga biztosítja a gravitációs erő. Jelölje \(M\) a vonzócentrum tömegét, \(m\) pedig a körpályára állított test tömegét:

\[F_{\mathrm{gr}}=m\frac{v^2}{r}\]

\[f\frac{mM}{r^2}=m\frac{v^2}{r}\]

A keringő test tömege máris kiesik, azaz mindegy, hogy mekkora tömegű testet akarunk körpályára állítani, az ehhez szükséges első kozmikus sebesség mindig ugyanakkora:

\[f\frac{M}{r^2}=\frac{v^2}{r}\]

Továbbá egy \(r\)-rel való szorzással is egyszerűsíthetjük az egyenletet:

\[\frac{fM}{r}=v^2\]

Négyzetgyökvonással meg is kapljuk az első kozmikus sebességet, amit most már jelölhetünk \(v_{\mathrm{I}}\) szimbólummal:

\[v_{\mathrm{I}}=\sqrt{\frac{fM}{r}}\]

Az itt szereplő \(r\) pályasugár sokféle lehet. Persze nem lehet a Föld sugaránál kisebb, sőt, a Föld sugaránál érdemben nagyobb kell legyen. Egyrészt mert a Föld felszínén vannak néhány kilométer magas hegyek (amikbe beleütközne a körpályán indított test), másrészt mert a Földnek viszonylag sűrű a légköre, amiben az ilyen nagy sebességgel haladó testek a légkör molekuláival ütközve (a "légkör súrlódása miatt") felforrósodnak és elégnének. Tehát az \(r\) reálisan a földsugárnál minimum pár száz kilométerrel nagyobb kell legyen. Itt, pár száz kilométeres magasságban kering a legtöbb mesterséges objektum a Föld körül (LEO, low Earth orbit).

A képletből látszik, hogy "minél távolabb kering egy objektum a vonzócentrumtól, annál lassabban (kisebb sebességgel) halad".
 

 A szögsebesség és a periódusidő függése a körpálya sugarától 

A körmozgás (kerületi) sebessége és szögsebessége között fennáll:

\[v=r\cdot \omega\]

\[\omega =\frac{v}{r}\]

Írjuk be ide a \(v\) helyére az I. kozmikus sebesség (körsebesség) imént kapott képletét:

\[\omega =\frac{\sqrt{\frac{fM}{r}}}{r}\]

\[\omega =\sqrt{fM}\frac{1}{\sqrt{r^3}}\]

Tehát a nagyob sugarú pályán keringő objektumnak nemcsak a sebessége, hanem a szögsebessége is kisebb.

Hogy függ a periódusidó a sugártól? A periódusidő:

\[T=\frac{2\pi}{\omega}\]

\[T=\frac{2\pi}{\sqrt{fM}} \sqrt{r^3}\]

Vagyis a periódusidő a sugár növekedésével növekszik (a Merkúr kb. 3 hónap alatt kerüli meg a Napot, a Mars már 1,88 év alatt, a Jupiter pedig már 12,3 év alatt).
 

 A második kozmikus sebesség levezetése 

Egy égitest gravitációs "fogságából, börtönéből" végleges elszökéshez annyi kezdeti energia szükséges mozgási energia formájában, amennyi munkavégzése lesz a végtelenbe történő eltávolodás során a gravitációs vonzóerőnek. Ez a gravitációs munka ugyanis negatív előjelű, mivel a gravitáció mindig vonzó irányú, vagyis távolodáskor az erő és az elmozdulás erőirányú összetevője ellentétes irányúak, így a gravitációs munka végig negatív. Centrális gravitációs mező munkavégzését integrálszámítással levezetve arra juthatunk, hogy ha egy \(m\) tömegű test kezdetben az \(M\) tömegű vonzócentrum középpontjától \(r\) távolságban van, akkor a végtelenbe távolítás során a mező munkája:

\[W_{\mathrm{gr}}=-f\frac{mM}{r}\]

Ezt neveztük el az \(m\) tömegű test potenciális energiájának.

A szökési sebesség meghatározásához írjuk fel egyenletben, hogy a kezdeti mozgási energiát a végtelenbe távolodás során pont lenullázza ("felzabálja") a gravitációs mező munkája:

\[\frac{1}{2}mv_0^2+W_{\mathrm{gr}}=0\]

Írjuk be a centrális mező esetén a végtelenbe jutás során történő munkavégzés képletét:

\[\frac{1}{2}mv_0^2+\left(-f\frac{mM}{r}\right)=0\]

\[\frac{1}{2}mv_0^2=f\frac{mM}{r}\]

A mozgó test \(m\) tömegével egyszerűsítve:

\[\frac{1}{2}v_0^2=f\frac{M}{r}\]

Rendezzük ki a kezdősebességet, és mostantól jelöljük \(v_{\mathrm{II}}\) szimbólummal:

\[v_{\mathrm{II}}=\sqrt{\frac{2fM}{r}}\]

A gravitációs vonzócentrum \(M\) tömegére a Föld tömegét, a kezdeti \(r\) távoilságnak pedig a földfelszíni indulás miatt a Föld sugarát beírva:

\[v_{\mathrm{II}}\approx 11,6\ \mathrm{\frac{km}{s}}\approx 40\ 000\ \mathrm{\frac{km}{h}}\]

Ez jó nagy sebesség, nem véletlenül kellenek hatalmas rakéták, hogy eljuttassunk egy kis szondát a Földtől távoli helyekre, mint például a Holdra, Marsra, Plútóhoz. A valóságban a kilőni szándékozott test nem hirtelen kapja meg a szökési sebességet, hanem sok percen át tartó folyamatos gyorsítás végére éri azt el.
 

 A harmadik kozmikus sebesség 

Ez hasonló a másodikhoz, csak itt nem a Föld gravitációs "börtönét" kell elhagyni, hanem a Napét. Itt azonban elgondolkodhatunk azon, hogy honnan is induljunk. Lehetne például a Nap felszínértől (az alapján, hogy a második kozmikus sebesség esetén a Föld felszínéről indultunk), de az ember ennél földhözragadtabb, ezért a harmadik kozmikus sebesség alatt azt értjük, hogy a földfelszínről mekkora sebességgel kellene elindítani egy testet, hogy eltávolodjon a Naprendszerből, és soha ne térjen vissza. Ennek értéke:

\[v_{\mathrm{III}}\approx 42,3\ \mathrm{\frac{km}{s}}\]