Gyorskeresés

A Lorentz-erő 10762

1820-ban, az Ørsted-kísérlet évében Ampère francia fizikus (ejtsd: amper) megalkotta a két áramjárta drótszakasz között ébredő erő törvényét, mely abban az egyszerűbb esetben, ha a két drótszakasz párhuzamos, mindkettő \(l\) hosszúságú, \(I_1\) illetve \(I_2\) áramerősségek folynak bennük és \(r\) távolságra vannak egymástól, akkor a köztük ébredő \(F\) erő::

\[F\sim \frac{I_1\cdot I_2}{r}\cdot l\]

Ezt párhuzamos, áramjárta drótszakaszok közötti erők vizsgálatával mérte ki:

Később világossá vált, hogy ilyenkor a drótokra ható erőket a mágneses mező közvetíti, vagyis a jelenséget mindkét drót szempontjából úgy képzelhetjük el, hogy az egyik drót körül kialakuló örvényes mágneses mező fejti ki az erőt a másik drótra, pontosabban szólva a drótban (az áramfolyás miatt) mozgó töltésekre:

Ekkoriban még nem volt világos, hogy a drótokban folyó elektromos áram nem egy folytonos, áramló közeg, hanem pici töltésadagokból, részecskékből (elektronokból) áll, hasonlóan ahhoz, ahogy egy vízsugarat is igen sok, igen pici vízmolekula alkot. Amikor ez is világossá vált, akkor öltött formát az \(\vec{F}_L\) Lorentz-erő képlete egy \(\vec{B}\) mágneses indukciójú mágneses mezőben \(\vec{v}\) sebességgel mozgó pontszerű \(q\) töltés esetére:

\[\vec{F}_L=q\cdot (\vec{v}\times\vec{B})\]

amit a \(\times\) jelű vektoriális szorzás ismerete nélkül úgy fogalmazhatunk meg, hogy a Lorentz-erő nagysága

\[F_L=q\cdot v\cdot B_{\bot}\]

ahol \(v\) a sebesség nagyságát jelenti, \(B_{\bot}\) pedig a mágneses indukciónak a sebességre merőleges összetevőjét jelöli (már persze ha van neki; hiszen lehet, hogy nincs az indukciónak a sebességre merőleges komponense). Arról, hogy hogyan lehet egy vektornak előállítani egy másik vektorra merőleges összetevőjét, itt lehet olvasni.

A Lorentz-erő úgy is kiszámítható, hogy nem a mágneses indukciónak nézzük meg a sebességre merőleges össszetevőjét, hanem a \(\vec{B}\) indukciót "békén hagyjuk", és a \(\vec{v}\) sebességvektornak vesszük a \(\vec{B}\) mágneses indukcióra merőleges összetevőjét:

\[F_L=q\cdot v_{\bot}\cdot B\]

Tehát az a fontos, hogy a Lorentz-erőben nem a teljes \(v\) sebességnagyság és \(B\) indukciónagyság játszik szerepet, hanem csak az egymásra merőleges összetevők; akár a \(v\) és \(B_{\bot}\), akár a \(B\) és \(v_{\bot}\). Tehát a Lorentz-erő nagysága kétféleképpen is felírható:

\[F_L=q\cdot v\cdot B_{\bot}=q\cdot v_{\bot}\cdot B\]

A Lorentz-erő irányára kissé komplikált szabály vonatkozik. A \(\vec{v}\) sebességvektor és a \(\vec{B}\) indukcióvektor általnos esetben egymáshoz képest akármilyen irányokban állhatnak, de ketten együtt mindig "kifeszítenek" egy síkot (kivétel, amikor párhuzamosak, akkor ugyanis nem, de olyankor egyiknek sincs a másikra merőleges összetevője, úgysincs Lorentz-erő sincs, így az irányát meghatározó szabály sem érdekes). 

Ha tehát \(\vec{v}\) és \(\vec{B}\) nem párhuzamosak, akkor van Lorentz-erő, és az mindig merőleges a \(\vec{v}\) sebességvektorra is, és a \(\vec{B}\) indukcióvektorra is. Csakhogy ez az utasítás még nem egyértelmű, mert ez két lehetőséget enged meg, hiszen a \(\vec{v}\) és \(\vec{B}_{\bot}\) vektorok által kifeszített síkból még két irányba "állhat ki" merőlegesen egy vektor:

Ezért további szabályra van szükség, hogy a két lehetőség közül melyik adja meg a Lorentz-erő  irányát; erre szolgál az ún. jobbkéz-szabály. Eszerint a jobb kezünk első 3 ujját állítsuk úgy, hogy mindegyik merőlegesen álljon a másik kettőre:

Ezt a jobb kezünket, amit beállítottunk olyanra, mint egy Descartes-féle derékszögű koordinátarendszer, ezután (mereven tartva) forgatgassuk ügyesen addig, hogy teljesüljenek az alábbiak:

  • a hüvelykujjunk a pozitív töltés \(\vec{v}\) sebességének irányába álljon
  • a mutatóujjunk pedig a  \(\vec{B}_{\bot}\) vagyis a sebességre merőleges indukcióösszetevő irányába álljon

A jobbkéz-szabály szerint az \(\vec{F}_L\) Lorentz-erő iránya a tenyerünkhöz képest merőlegesen kiálló középső ujjunk felé mutat:

Ezt alkalmazva az előző ábránkon:


 

 A "pofonszabály" 

A jobbkéz-szabálynak egy másik megfogalmazása az ún. "pofonszabály". Ehhez nem kell nehézkesen egymásra merőlegesen beállítanunk az ujjainkat, hanem csak a hüvelykujjunknak kell merőlegesnek lennie az összes többi (párhuzamosan álló) ujjunkra:

Ezt a "beállított" jobb kezünket forgassuk úgy, hogy:

  • a hüvelykujjunk a pozitív töltés \(\vec{v}\) sebességének irányába álljon
  • az összes többi ujjunk pedig a  \(\vec{B}_{\bot}\) vagyis a sebességre merőleges indukcióösszetevő irányába álljon

A "pofonszabály" szerint az \(\vec{F}_L\) Lorentz-erő iránya az, amerre a pofont adnánk, vagyis amerre lendítenénk a jobb kezünket egy  pofonhoz, ami természetesen az előzővel összhangban, a tenyerünkből merőlegesen kifelé álló irányt jelenti:


 

 A Lorentz-erő munkája 

Mivel a Lorentz-erő a sebességre mindig merőleges, a részecske pedig mindig a saját sebességvektora irányába mozdul el, ezért a Lorentz-erő mindig merőleges a test elmozdulására. Ez amiatt fontos, mert egy erő munkája (egy kis elemi szakaszon) az erőnek és az \(s_{\parallel}\) elmozdulás erő irányú összetevőjének szorzata:

\[W=F\cdot s_{\parallel}\]

tehát a Lorentz-erőnek sosincs munkája. Így a munkatétel alapján, miszerint egy erő munkája a test mouzgási energiáját változtatja meg:

\[W=\Delta E^{\mathrm{mozg}}\]

a Lorentz-erő sosem tudja megváltoztatni a test mozgási energiáját,vagyis nem tudja a test sebességét növelni vagy csökkenteni, csak a sebesség irányát tudja megváltoztatni, a sebességvektort "elfordítani" képes. (Régebben az UFÓ magazinban szerepelt, hogy a kozmosz nagyon távoli részeiből jönnek olyan részecskék, melyeket az idáig tartó útjuk során a világegyetem hatalmas mágneses mezői óriási sebességre gyorsítottak fel. Na, ebből egyből kiderült, hogy nem kell komolyan venni a cikket.)


 Ha a mozgó töltés negatív 

Ha a mozgó töltés negatív, akkor többféle módon járhatunk el:

  • a jobb kezünk hüvelykujját a negatív töltés \(\vec{v}\) sebességének irányába állítjuk, a többi lépést változatlanul tesszük meg, de a végeredményként kapott Lorentz-erő iránynak végül vesszük az ellenkezőjét
  • a jobb kezünk hüvelykujját a negatív tötés \(\vec{v}\) sebességének irányával ellentétesen állítjuk be, a többi lépést változatlanul tesszük meg, és a végeredményül kapott Lorentz-erő iránya a negatív töltésre ható erő irányát adja ki
  • a jobb kezünk helyett a bal kezünket vesszük, és az egész eredeti lépéssort végicsináljuk; a végeredményül kapott Lorentz-erő iránya a negatív töltésre ható erő irányát adja ki

A kép eredetijének forrása: https://www.scienceinschool.org


 Mikor nem hat Lorentz-erő? 

A Lorentz-erő nagyságát mutató képlet egy szorzat:

\[F_L=q\cdot v\cdot B_{\bot}\]

Egy szorzat pedig akkor nulla, ha bármelyik szorzótényezője nulla. Tehát az alábbi esetekben nem ébred Lorentz-erő:

  • ha a \(q\) töltés nulla (azaz a mozgó részecske semleges; például neutron, neutrínó, atom, molekula)
  • ha a \(v\) sebesség nulla, vagyis a részecske nem mozog, hanem áll (nyugalomban van)
  • ha nincs mágneses mező, azaz \(\vec{B}=0\), hiszen ekkor biztosan nincs a \(\vec{B}\) indukciónak \(B_{\bot}\) sebességre merőleges komponense
  • ha a \(\vec{v}\) sebességvektor és a \(\vec{B}\) indukcióvektor párhuzamosak: \(\vec{v}\parallel \vec{B}\) ilyenkor ugyanis a \(\vec{B}\) indukcióvektornak nincsen a sebességre merőleges összetevője, vagyis \(B_{\bot}=0\)


 A Lorentz-erő hatására kialakuló különféle részecskepályák 

Azt már láttuk, hogy a Lorentz-erő szempontjából nem egyszerűen a részecske \(\vec{v}\) sebességnagysága és a mágneses mező \(\vec{B}\) indukciójának nagysága számít, hanem az is fontos, hogy ezek milyen irányban állnak egymáshoz képest; nevezetesen az egyiknek kell vennünk a másikra merőleges összetevőjét, és csak az számít a Lorentz-erőben. Nézzük most úgy, hogy a \(\vec{v}\) sebességet bontjuk fel komponensekre, mármint a \(\vec{B}\) indukcióvektorral párhuzamos \(\vec{v}_{\parallel}\) komponensre, és a \(\vec{B}\) indukcióvektorra merőleges \(\vec{v}_{\bot}\) komponensre. Nézzük először az egyszerűbb, speciális eseteket, amikor a sebesség egyik vagy másik komponense nulla!
 

 1. spec. eset: \(\vec{v}_{\bot}=0\) 

Vagyis a részecske sebessége párhuzamos a mágneses indukcióval. Ekkor nem hat Lorentz-erő a mozgó részecskére, így a mágneses mező nem okoz gyorsulást, tehát a részecske sebessége állandó. Ilyenkor egyenesvonalú egyenletes mozgás jön létre. Ez elég uncsi.
 

 2. spec. eset: \(\vec{v}_{\parallel}=0\) 

Vagyis a részecske a mágneses indukcióvektorra merőlegesen halad. Ilyenkor Az egész sebesség merőleges, így a Lorentz-erő képletében a \(\bot\) alsó indexet elhagyhatjuk:

\[F_L=q\cdot v\cdot B\]

Mivel a Lorentz-erő mindig merőleges a sebességre, és állandó nagyságú,hiszen a sebesség nagyságát nem változtatja meg, és mindig \(q\cdot v\cdot B\) nagyságú, ezért eszünkbe jut,hogy láttunk már ilyet: az egyenletes körmozgásnál pont ez van. Van egy centrum felé mutató, és a sebességre mindig merőleges állandó erő, mely folyamatosan elkanyarítja a sebességvektort, úgymond körpályára kényszeríti a testet. A Lorentz-erő \(\vec{v}\ \bot \ \vec{B}\) esetben pont így viselkedik, ezért ilyenkor egyenletes körmozgás jön létre. Mekkora lesz a kialakuló körpálya sugara? Írjuk fel centripetális (azaz a körpálya középpontja felé mutató) irányra a dinamika alapegyenletét:

\[\Sigma F_{\mathrm{cp}}=m\cdot a_{\mathrm{cp}}\]

\[\Sigma F_{\mathrm{cp}}=m\cdot \frac{\ v^2}{r}\]

Most centripetális irányban ható erőből egy van, a Lorentz-erő:

\[F_L=m\cdot \frac{\ v^2}{r}\]

\[q\cdot v\cdot B=m\cdot \frac{\ v^2}{r}\]

\[q\cdot B=m\cdot \frac{v}{r}\]

Ebből kirendezve a körpálya sugarát:

\[r=\frac{mv}{qB}\]

Tehát ha egy részecske a mágneses mezőbe az indukvióra merőleges sebességgel lép be, akkor egyenletes körmozgást fog végezni; a mágneses mező "az erővonal körül körbeforgatja" a sebességvektort. Például egy negatív töltésű elektron keringését mutatja sebességre merőleges mágneses mezőben az alábbi ábra:


forrás: https://courses.lumenlearning.com

Régebben a magfizikai,részecskefizikai reakciókat ködkamrában, buborékkamrában tanulmányozták. A részecskék sebességére abból követleztettek, hogy a mágneses mező Lorentz-ereje mennyire "hajlítja el" a pályájukat. A nagyon gyorsakét alig, így azok szinte egyenes vonalú nyomot hagytak, míg a lassabbakét elgörbítette körré, pontosabban mivel a részecske a közeggel való ütközés miatt folyamatosan energiát veszített, lassult, a pálya egyre csökkenő sugarú kör lett, vagyis "besprálozódott":


 

 3. (általános) eset: \(\vec{v}_{\parallel}\neq 0\) és \(\vec{v}_{\bot}\neq 0\) 

Általános esetben a részecske sebességének van merőleges és párhuzamos komponense is az indukcióra nézve. Ebben az esetben a mozgások függetlenségének elve alapján a párhuzamos sebességkomponens (amire  a Lorentz-erőnem hat) nem fog változni, vagyis állandó marad, ezért ebben az irányban egyenesvonalú egyenletes mozgás fog zajlani. Az indukcióra merőleges sebességkomponenst pedig a Lorentz-erő "az indukció körül folyamatosan körbeforgatja", tehát itt egy egyenletes körmozgás alakul ki. A két mozgás eredője, szuperpozíciója egy spirális (hélix) mozgás lesz:


forrás: https://gmwgroup.harvard.edu
 

Mintha egy hangya egy csavar menete mentén haladna egyúttal körbe és előre, egyenletesen:

Ez történik a Földhöz közeledő töltött részecskékkel (például a Napból érkező protonokkal, elektronokkal; a "napszéllel"), vagyis a Föld mágneses mezejének erővonalaki mentén spirális pályán haladnak a Föld mágneses pólusai felé, ebből lesz a sarrki fény, amiről itt olvashatók részletek.
 

Megjegyzések a Lorentz-erőhöz

A Lorentz-erő egyenlete levezethető a Maxwell-egyenletekből, de ez a mutatvány csak 1895-ben sikerült Hendrik Lorentz holland fizikusnak.

Sokszor Lorentz-erő alatt a \(q\) töltésre elektromágneses mezőben ható teljes erőt értik, vagyis az elektromos és mágneses mező együttes hatását:

\[\vec{F}_L=q\cdot \left(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B}\right)\]