Gyorskeresés

A matematikai inga (fonálinga, síkinga, pontinga) 14612

Ha egy felfüggesztett, kiterjedt test leng, anna neve fizikai inga. Ha az inga testje pontszerű, ami olyan kötél végén leng, melynek felső vége rögzített, a kötél pedig nyújthatatlan, súlytalan és tökéletesen hajlékony (tehát csak kötélirányú erők ébrednek benne), akkor homogén nehézségi erőtérben, függőleges síkban zajló lengés esetén a rendszer neve fonálinga (matematikai inga, pontinga, síkinga).

A lengés lehet csillapítatlan, vagy valamilyen közegellenállás (légellenállás) által csillapított.

A pontinga pontszerű testjére minden pillanatban két erő hat:

  • az állandó nagyságú, és mindig lefelé mutató \(mg\) nehézségi erő
  • a kényszererőnek számító kötélerő, melynek nagysága és iránya a lengedezés során folyamatosan változik

Minél kisebb az inga kitérése, a pontszerű test annál inkább jó közelítéssel vízszintes harmonikus rezgőmozgást végez (a levezetést lásd később), melynek \(T\) periódusideje, lengésideje:

\[T=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}\]

ahol \(\ell\) az inga hossza, \(g\) pedig a nehézségi erőtér nehézségi gyorsulása. Vegyük észre az első blikkre furcsaságot, hogy a periódusidő nem függ a lengedező test tömegétől. Ezt az ún. izokronizmust (szó szerint: azonos idők, mármint periódusidők, függetlenül a tömegtől, anyagi minőségtől) már Galilei felfedezte.

A pontinga lengési \(f\) frekvenciája természetesen a periódusidő reciproka:

\[f=\frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{\ell}}\]

Gyakoran előforduló tévedés a matematikai ingával kapcsolatban, hogy "csak kis, kb. \(5^{\circ}\) alatti kitérések esetén" érvényes a periódusidő képlete. Ezzel szemben a képlet hibáját az alábbi táblázat mutatja:

\(\Delta \varphi\)
max.
szögkitérés
\(T\) képlet
hibája
 \(5^{\circ}\) \(0,05\%\)
 \(22^{\circ}\) \(1\%\)
 \(30^{\circ}\)  
 \(90^{\circ}\) \(18\%\)