Gyorskeresés

A medvebocsnak kevés a súrlódás a havas hegyoldalon 7953

Ha egy test lejtőn van, akkor a lejtő irányában lefelé az \(m\cdot g\) nehézségi erőnek a lejtőirányú, lejtővel párhuzamos \(m\cdot g_{\parallel}\) komponense gyorsítja, ami

\[m\cdot g_{\parallel}=m\cdot g\cdot \sin{\alpha}\]

ahol \(\alpha\) a lejtőnek a vízszintessel bezárt szöge.

Ahhoz, hogy a test ne csússzon le, az szükséges, hogy az \(F_{\mathrm{t}}\) tapadási súrlódási erő ki tudja egyenlíteni a lejtőirányban lefelé húzó erőt. Az tapadási erő azonban nem lehet akármekkora, hanem van egy maximális értéke:

\[F_t<\mu_{\mathrm{t}}\cdot F_{\mathrm{ny}}\]

\[F_{\mathrm{t}\ \mathrm{max}}=\mu_{\mathrm{t}}\cdot F_{\mathrm{ny}}\]

ahol \(F_{\mathrm{ny}}\) a test és a lejtő között ébredő, a felületre merőleges nyomóerő (kényszererő). Ami pedig a nehézségi erőnek a lejtőirányú \(m\cdot g_{\bot}\) komponensével kell megegyezzen, hiszen ha ez a két, lejtőre merőleges erő nem oltaná ki egymás hatását, akkor a testnek a lejtőre merőleges irányban gyorsulnia kellene:

\[F_{\mathrm{ny}}=m\cdot g_{\bot}\]

Ez alapján a tapadási erőre:

\[F_{\mathrm{t}}<\mu_{\mathrm{t}}\cdot m\cdot g_{\bot}\]

A nehézsági erő merőleges komponense pedig:

\[m\cdot g_{\bot}=m\cdot g\cdot \cos{\alpha}\]

vagyis

\[F_{\mathrm{t}}<\mu_{\mathrm{t}}\cdot m\cdot g\cdot \cos{\alpha}\]

Írjuk fel a párhuzamos irányra a dinamika alapegyenletét:

\[\Sigma F_{\parallel}=m\cdot a_{\parallel}\]

Tapadás esetén a test mozdulatlan, vagyis mindenféle gyorsulás nulla:

\[\Sigma F_{\parallel}=0\]

Válasszuk lefelé a pozitív irányt, és írjuk be az erőket (fejtsük ki a szummát).

\[m\cdot g_{\parallel}-F_{\mathrm{t}}=0\]

\[m\cdot g\cdot \sin{\alpha}-F_{\mathrm{t}}=0\]

Mivel at \(F_{\mathrm{t}}\) tapadási erő kisebb, mint a \(\mu_{\mathrm{t}}\cdot m\cdot g\cdot \cos{\alpha}\) kifejezés, ezért rendezzük ki az egyenletből az \(F_{\mathrm{t}}\) tapadási erőt:

\[m\cdot g\cdot \sin{\alpha}=F_{\mathrm{t}}\]

Írjuk az \(F_{\mathrm{t}}\) tapadási erő mellé, hogy nála nagyobb a \(\mu_{\mathrm{t}}\cdot m\cdot g\cdot \cos{\alpha}\) kifejezés:

\[m\cdot g\cdot \sin{\alpha}=F_{\mathrm{t}}<\mu_{\mathrm{t}}\cdot m\cdot g\cdot \cos{\alpha}\]

Azt kaptuk, hogy ha

\[m\cdot g\cdot \sin{\alpha}<\mu_{\mathrm{t}}\cdot m\cdot g\cdot \cos{\alpha}\]

a tömeggel egyszerűsítve:

\[g\cdot \sin{\alpha}<\mu_{\mathrm{t}}\cdot g\cdot \cos{\alpha}\]

majd \(g\)-vel is egyszerűsítve:

\[\sin{\alpha}<\mu_{\mathrm{t}}\cdot \cos{\alpha}\]

és \(\cos{\alpha}\)-val leosztva:

\[\tan{\alpha}<\mu_{\mathrm{t}}\]

fennáll, akkor tapadás lesz, vagyis a test nem csúszik le. Tehát ha a \(\mu_{\mathrm{t}}\) tapadási együttható nagyobb, mint a lejtő hajlásszögének tangense, akkor a test nem csúszik le. Ezért ha ugyanolyan havon meredekebb részhez ér, akkor könnyen előfordulhat, hogy ott már megcsúszik.

Fejezet: 
Típus: