Gyorskeresés

A nehézségi erő 5613

 A nehézségi erő fogalma 

Egy testre ható nehézségi erő a test $m$ tömegének és a test helyén mérhető $\vec{g}$ nehézségi gyorsulásnak a szorzata:

$${\vec{F}}_{\mathrm{neh}}=m\cdot \vec{g}$$

A nyugalomból elengedett testek $\vec{g}$ nehézségi gyorsulással kezdenek el zuhanni, ami elég nagy pontossággal kimérhető. A zuhanással járó gyorsulás a testre ható \(mg\) nehézségi erő miatt "jön létre". Tehát nehézségi erő alatt azt az erőt értjük, ami a nehézségi gyorsulást okozza. De mi is a háttere ennek az $mg$ nehézségi erőnek?

Ha ezt pontosan akarjuk megragadni, akkor kiderül, hogy a nehézségi erő (illetve a mögötte húzódó nehézségi gyorsulás) nem könnyű fogalom.
 

 Nagyjából... 

Első közelítésben, azaz ha tolerálunk pár ezreléknyi pontatlanságot, akkor azt mondhatjuk, hogy a nehézségi erő nagyjából a Föld (mint égitest) által a testre kifejtett gravitációs vonzóerő:

\[mg\approx F_{\mathrm{gr}}\]

 Pontosabban szólva... 

Ha ennél pontosabba nézzük, akkor kiderül, hogy a nehézségi erő a földfelszín nagy részén a gravitációs erőtől kissé eltér nagyságra és irányra nézve is:

  • A nagyságra nézve az eltérés az Egyenlítő mentén a legnagyobb, ahol is kb. 5 ezrelékkel (0,5%-kal) kisebb a nehézségi erő, mint a gravitáviós vonzóerő. A földrajzi szélesség növekedésével (akár az északi, akár a déli pólus irányba haladva) az eltérés egyre kisebb mértékű, míg végül a pólusokban a két erő azonossá válik.
  • Az irányra vonatkozóan azt mondhatjuk, hogy míg a gravitációs vonzóerő mindig pontosan a Föld tömegközéppontja felé mutat, addig a nehézségi erő csak az Egyenlítőn és a pólusokon mutat precízen a Föld tömegközéppontja felé.

Az \(mg\) és az \(F_{\mathrm{gr}}\) közötti eltérés oka, hogy a testeket általában a Föld felszínéhez rögzített vonatkoztatási rendszerben szokás vizsgálni. Az ilyen vonatkoztatási rendszerek azonban - a Föld saját tengelye körüli, 24 órás periódusú forgása miatt - nem inerciarendszerek, hiszen a felszín pontjainak (inerciarendszerből szemlélve)

$$a_{\mathrm{cp}}=\displaystyle \frac{\ v^2}{r}$$

centripetális gyorsulása van. Emiatt a Földhöz rögzített vonatkoztatási rendszerek mindegyike gyorsuló vonatkoztatási rendszer. Márpedig gyorsuló vonatkoztatási rendszerekben a valódi erőkön túl "megjelennek" ún. tehetetlenségi erők, a Föld felszínén a bolygónk tengely körüli forgás miatt már nyugvó testreke is "hat" centrifugális erő, mely a test tömegével, a forgási szögsebesség négyzetével és a forgástengelytől való távolsággal arányos:

\[F_{\mathrm{cf}}=mr\omega ^2\]

A pólusokon a tengelytől való $r$ távolság nulla, így ott a centrifugális erő nulla. A pólusoktól az Egyenlítő felé haladva a tengelytől való távolság egyre növekszik, ezért az Egyenlítőn a legnagyobb. Az Egyenlítőn a gravitációs és a centrifugális erő ellentétes irányú, egyébként tompaszöget zárnak be egymással.

Ábrán szemléltetve:

A fentiek alapján a függőón (hajlékony cérnán nyugalomban lógó fémtest) csak az egyenlítő mentén és a sarkokon mutat a Föld tömegközéppontja felé, az összes többi földrajzi szélességen ettől kissé eltérő irányban.

A nehézségi erő tehát fogalmilag bonyolult: egy valódi erőnek (gravitáció erő) és egy nem valódi, fiktív tehetetlenségi erőnek (centrifugális erő) a vektori összege. Ez nem annyira könnyen emészthető.

A nehézségi erő mérése a fenti bonyodalmak ellenére egyáltalán nem körülményes: nyugalmi állapotban megmérjük egy vízszintes mérleggel a test súlyát (lásd később). A test nyugalmi állapota miatt a test gyorsulása nulla, emiatt Newton II. törvénye alapján a rá ható erők eredője nulla kell legyen, így a nehézségi erőnek és a mérleg által a testre kifejtett tartóerőnek (a súly ellenerejének) a vektori eredője nulla kell legyen. Ebből következően a nehézségi erő és a tartóerő azonos nagyságú kell legyen. A tartóerő pedig Newton III. törvénye alapján azonos nagyságú a test súlyával, hiszen ők ketten erő-ellenerő párt alkotnak. Így két lépésben arra következtethetünk, hogy a test nyugalmi súlya és a rá ható nehézségi erő azonos nagyságúak, ezért a nyugalmi súly mérésével megkapjuk a nehézségi erő nagyságát. A nehézségi erő irányát pedig a nyugvó függőón (hajlékony, hosszú cérnán lógó, kúpos fémtest) mutatja meg.


 

 A nehézségi erő jelentősége: a vízszintes 

Felmerülhet a kérdés, hogy ha a nehézségi erő (az Egyenlítőt és a pólusokat leszámítva) sehol nem is a Föld középpontja felé mutat, akkor egyáltalán "mire jó"? Ehhez gondoljunk a folyadékokra! A folyadékok molekulái könnyen elgördülnek egymáson, így ha a földfelszíni nehézségi erőtérben megpróbálunk "felhalmozni" folyadékot, akkor a homokkal ellentétben ez nem sikerül, mert a folyadékmolekulák mindig "legurulnak", egészen addig, amíg mindegyikük a lehető legalacsonyabb helyre nem kerül. És mivel számukra a "lefelé" irányt a rájuk ható \(mg\) nehézségi erő mutatja meg, ezért a folyadékok csak úgy tudnak nyugalomba kerülni, ha a felszínük mindenhol merőleges lesz a nehézségi erő irányára. Ez nemcsak a pohárban lévő vízre igaz, hanem a kádban, tóban lévőre, illetve a tengerre is (bár a tengerek vize csak igen ritkán szokott nyugalomban lenni). Ezen alapul a vízszintező működése:


 

 A nehézségi erő hatásai, következményei 

Az óceánok vizének felülete ez alapján nem gömb alakot formáz, hanem olyat, ami mindenhol merőleges a nehézségi erőre. A fentiek alapján ez azzal jár, hogy a világtengerek felszíne olyan torzított gömb, ami az egyenlítő felé "kidudurodik":

A kidudorodás mértéke persze az ábrán el van túlozva, ugyanis a valóságban az csupán 0,34%, azaz \(\approx 21\ \mathrm{km}\) (mert az egyenlítői sugár egész kilométerre kerekítve \(6378\ \mathrm{km}\), míg \(6357\ \mathrm{km}\) a poláris sugár).

A nehézségi erő nemcsak a világtengerek alakját befolyásolja illetve befolyásolta. A Föld a 4,5 milliárd évvel ezelőtti keletkezésekor még forró, olvadt állapotú volt, így az egész bolygó olyan alakot vett fel, ami a nehézségi erőre mindenhol merőleges (ezt Gauss elnevezte geoidnak). Aztán ahogy a Föld kérge (a világűr felé történő hősugárzástól lehűlve) megszilárdult, a szilárd földfelszín is ilyen "az Egyenlítőnél kidudorodó" alakúvá vált.