Gyorskeresés

A rendszer fogalma, fajtái; mikro- és makroállapotok 4570

A rendszer definícója  

A rendszer (vagy pontosabb szóhasználata élve az általunk kiválasztott rendszer) az Univerzum bármely, kisebb-nagyobb része (részhalmaza), melyet tanulmányozás céljából magunk számára önkényesen kijelölünk, képzeletben kiválasztunk. A rendszert a határaival adjuk meg. A rendszer határaival kapcsolatban egyrészt meg kell adnunk, hogy térben és időben hol húzódnak, valamint azt is, hogy a rendszer határain milyen folyamatok lehetségesek (részecskeátáramlás illetve energiaátáramlás).

Rendszer végtelen sokféle lehet. Például lehet csupán egyetlen elektron (például az atommodellekben), egyetlen atom, vagy molekula, de lehet egy golyó, egy autó vagy egy tó vize. A vizsgálódásainkhoz kiválasztott rendszer lehet hatalmas is, például az egész Föld bolygó, vagy akár egy egész galaxis, de akár egy galaxishalmaz is.

A rendszer fogalom használatának speciális, szélsőséges esete, amikor a vizsgálódásainkat nem akarjuk leszűkíteni az Univerzum valamely részére, vagyis az egész Univerzumot kívánjuk vizsgálni. Az efféle vizsgálódások nehézségét pont az adja, hogy mivel az Univerzumot végtelennek gondoljuk, ezért nem tudjuk megadni, megragadni a határait, és ami még fontosabb, a határain esetlegesen zajló folyamatokat sem. Ezért az egész Univerzumra vonatkozó vizsgálódások (vagy őszintébben szólva, inkább meggondolások) a tudományos tevékenység teljesítőképességének határán mozognak, ha úgy tetszik tudománytalan tevékenységnek számítanak.

A rendszert mindig a saját céljainknak megfelelően kell, érdemes megválasztanunk. Amikor azt olvassuk, hogy "tekintsünk egy csigát, rajta kötéllel, annak két végén $m_1$ illetve $m_2$ tömegű nehezékekkel", akkor ezzel a megfogalmazással a rendszert, a vizsgálódásaink tárgyát jelöljük ki. Ha minket a kötésre erősített nehezék mozgása érdekel, akkor vehetjük őt a rendszerenk. Azonban ha a kötél együtt mozog a nehezékkel, akkor érdemes őket kettejüket a rendszernek tekinteni. 

A környezet fogalma

A környezet az Univerzumnak az általunk kiválasztott rendszeren kívüli része.

 

Rendszer típusok (a rendszerek csoportosítása)

 

1. A rendszer határain történő kölcsönhatások (transzportok) alapján

Sokszor mondjuk egy rendszerre, hogy nyílt vagy zárt vagy izolált, most tisztázzuk ezeket a fogalmakat.

A rendszerek osztályozhatók aszerint, hogy milyen folyamatok lehetségesek, és milyen folyamatok nem lehetségesek a határaikon. Másképp fogalmazva: a rendszer mlyen fajta kölcsönhatásokat létesít illetve nem létesít a környezetével. A határokon zajló végtelenül sokféle folymatot két csoportra szokás osztani:

  • anyagáramlás (más néven részecskeáramlás, tömegáramlás; idegen szóval részecsketranszport)
  • energiaáramlás (energiatranszpot)

Ezek még temészetesen nagy csoportok, hiszen egy membrán bizonyos molekulákat átenged, más molekulákat nem enged át. Vagy egy merev falú fémtartály esetén hőcsere lehetséges (ami energiaáramlással jár), de térfogati munkavégzés nem lehetséges (pedig az is energiaáramlással jár).

A fenti két csoport alapján a rendszerek osztályozása:

  Részecskeáramlás lehet?
 igen   nem 
Energiaáramlás
lehet?
 igen  NYÍLT
rendszer
ZÁRT
rendszer
 nem  - IZOLÁLT
rendszer


Gyakori pongyolaság, hogy zárt rendszer kifejezést használnak olyankor, amikor a környezettől teljesen el van zárva a rendszer (vagyis sem anyagáramlás, sem energiaáramlás nem lehetséges). Pedig a zárt rendszer energiát cserélhet a környezettel, csak részecskéket nem. Már olyankor is nyílt (nyitott) rendszerről beszélünk, amikor a rendszert alkotó részecskefajtákból csak egy fajta számára átjárható a rendszer határfelülete, a többi számára nem.

Érdekes az az (elviekben felmerülő) eset, amikor tömegáramlás lehetséges, de energiaáramlás nem. Ebbe kicsit belegondolva azonnal rájövünk, hogy ez csak a felosztás rendszerében bukkan elő, mint lehetőség, valójában kizárt, hogy legyen ilyen folyamat. Hiszen egy átáramló részecske szükségképpen energiát is szállít. Ugyanis ha áthaladt a határfelületen, akkor kellett legyen neki sebessége, márpedig ekkor biztosan van neki

\[E_{\mathrm{mozg}}=\frac{1}{2}mv^2\]

mozgási energiája is, amit a határfelületen áthaladáskor "áthordozott". Ezért ez az eset lehetetlen, így neve sincsen.

 

2. A rendszer szabadsági fokai alapján

Szabadsági fokok alatt azt értjük, hogy a rendszer hogyan, hányféle, egymástól független módon tud energiát tárolni, vagyis egy rendszer szabadsági fokainak száma az energiahordozásra rendelkezésre álló lehetőségeinek számát jelenti.

Mechanikai rendszereknál szokás azt mondani, hogy a szabadsági fokok száma egyenlő a rendszer energiakifejezésében szereplő négyzetes tagok számával. Ez azonban egy leszűkítés, ugyanis a részecskék közötti potenciális energia kifejezésében csak a harmonikus (a kitéréssel egyenes arányosan változó) erő energiakifejezése lesz négyzetes:

\[F_{\mathrm{harm}}=-D\cdot x\]

\[E_{\mathrm{pot}}=\frac{1}{2}D\cdot x^2\]

A haladó mozgási és a forgási energiákra ez a megfogalmazás tényleg mindig fennáll, mert a haladó mozgás sebességkomponensei $(v_x;\ v_y;\ v_z)$ és a szögsebességkomponensek $(\omega_x;\ \omega_y;\ \omega_z)$ tényleg a négyzetükön vannak az energia kifejezésben:

\[E_{\mathrm{mozg.\ \ x}}=\frac{1}{2}m\cdot v^2_x\]

\[E_{\mathrm{mozg.\ \ y}}=\frac{1}{2}m\cdot v^2_y\]

\[E_{\mathrm{mozg.\ \ y}}=\frac{1}{2}m\cdot v^2_z\]

\[E_{\mathrm{mozg.\ \ x}}=\frac{1}{2}{\mathit{\Theta}}_x\cdot {\omega }^2_x\]

\[E_{\mathrm{mozg.\ \ y}}=\frac{1}{2}{\mathit{\Theta}}_y\cdot {\omega }^2_y\]

\[E_{\mathrm{forg.\ \ z}}=\frac{1}{2}{\mathit{\Theta}}_z\cdot {\omega }^2_z\]

Egy makroszkopikus rendszernek rettenetesen sok szabadsági foka van. Például egy vödörnyi levegőben nagyságrendileg $10^{23}$ darab gázmolekula van, és mindegyiknek van 3 haladó mozgási szabadsági foka valamint 2 forgó mozgási szabadsági foka (mert a levegő kétatomos molekulákból áll). Magasabb hőmérsékleten a molekulákat alkotó atomok közötti rezgések további (vibrációs) szabadsági fokot jelentenek (bár ez közönséges hőmérsékleten még nem gerjesztődik, így nincs szerepe).

A newtoni mechanikában hozzászoktunk, hogy a rendszer állapotát teljesen leírjuk, minden részecskéjének minden tulajdonsága (helykoordinátái, sebességkomponensei) ismertek. Ha a rendszer energiáját akarjuk meghatározni, akkor a mozgási energiához a sebességkomponensek kellenek, a potenciális energiákhoz pedig a helykoordináták. Egy elejtett kavics esetében azt mondjuk, hogy a kavicsot pontszerűnek képzeljük, és a kavics 3 sebességkomponense révén ismerjük a mozgási energiáját, a 3 helykoordinátája révén pedig a helyzeti energiáját, ezzel teljesen ismerjük az állapotát. Egy elhajított merev rúd esetében azt mondjuk, hogy homogén tömegeloszlásúnak gondoljuk a rudat, és egyrészt a tömegközéppontjának van haladó mozgása (ez 3 sebességkomponenssel jár), másrészt a tömegközéppontja körül van forgó mozgása, aminek van 3 tengelye (ez 23 szögsebességkomponenssel jár), így összesen 6 szabadsági fokkal teljesen leírtuk ezt a makroszkopikus (sok ezer milliárdnyi atomból álló) rendszert, a rudat. De amikor nagyságrendileg $10^{23}$ szabadsági fok esetében kellene megadnunk, hogy az egyes szabadsági fokokon mennyi energia van, akkor elméleti megközelítésben a dolog csupán fáradságosabb, időigényesebb, gyakorlatilag azonban lényegében reménytelen. A hőtan válasza erre a problémára az, hogy a rendszer állapotát ne a rettentő sok kis molekulán keresztül írjuk le, hanem ezek helyett néhány makroszkopikus állapotjelző (kollektív tulajdonság) segítségével. Ezek a nyomás, hőmérséklet, térfogat, tömeg (vagy részecskeszám, vagy mószám). Tehát a $10^{23}$ nagyságrendű szabadsági fok helyett csak néhány paramétertől függ a rendszer energiája. vagyis nem vesszük figyelembe a rendszer sok szabadsági fokát, hanem néhány paramétert használunk helyette. Ennek következtében nem ismerjük pontosan a rendszer állapotát, azaz nem tudjuk, milyen mikroállapotban van, csak azt, hogy milyen makroállapotban.

A rendszerek ennek megfelelően osztályozhatók aszerint, hogy ismerjük-e részleteiben az állapotukat, birtokában vagyunk-e a rendszert (pontosabban a rendszer mikroállapotát, lásd alább) meghatározó összes információnak, vagy sem.

 Mechanikai rendszer 

 A rendszer minden egyes szabadsági fokát számba vesszük. Ilynekor birtokában vagyunk a rendszert meghatározó összes információnak. Emiatt minden mechanikai rendszer entrópiája nulla.

Ennek a ténynek majd az energiaminimum-elvnél lesz jelentősége.

 Termodinamikai rendszer (TDR) 

 A rendszer szabadsági fokainak elsöprő többségét nem vesszük külön-külön számba, hanem helyettük néhány állapotjelzőből összeállított kifejezés adja meg a rendszer energiáját. Ilyenkor nem vagyunk birtokában a rendszert meghatározó összes információnak, ezért a termodinamikai rendszer entrópiája szükségképpen pozitív.
 

Mikroállapot és makroállapot

 Mikroállapot 

 Egy rendszer mikroállapota alatt egy olyan, meghatározott állapotot értünk, melyben a rendszer minden részecskéjének minden helykoordinátáját és sebességkoordinátáját ismerjük. 

Precízebben fogalmazva egy mikroállapot esetén nem a helykoordinátákat és a sebességkooordinátákat kell ismernünk, hiszen szigorú értelemben ez azt jelentené, hogy végtelen tizedesjegy pontossággal ismerük ezeket az adatokat. A fizikában nem is reális, és nem is szükséges egy mennyiséget végtelenül pontosan ismerni. Ezért egy adott mikroállapot megadásánál azt kell tudnunk, hogy a részecskék helykoordinátája melyik kis intervallumba esik. Például egy x helykoordináta esetén:

\[12,36\ \mathrm{m}\le x<12,37\ \mathrm{m}\]

egy \(v_x\) sebességkomponens esetén pedig ehhez hasonlóan

\[8,53\ \mathrm{\frac{m}{s}}\le v_x<8,54\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]

Annak, hogy az intervallum mennyire lehet szűk, a klasszikus mechanikában nincs határa. A kvantummechanikában a Heisenberg-féle határozatlansági reláció határt szab, hogy az intervallum mennyire lehet szűk. A mikroállapotok fázisteres meghatározásáról itt találhatók további részlete.

A helykoordinátákból (pontosabban azok különbségeiből) meghatározhatóak a potenciális energiák (például: ha a rendszerünk a Naprendszer, akkor a gravitációs potenciális energia nem közvetlenül a Nap és a Föld helykoordinátáitól függ, hanem a Nap-Föld távolságtól, tehát a helykoordináták különbségétől; ha pedig egy rugóról van szó, akkor a rugóenergia a rugó megnyúlásától függ, tehát a végpontjai helykoordinátáinka különbségétől). A részecskék sebességkomponensekiből pedig meghatározhatók a mozgási energiák. Mechanikai rendszereknél a rendszer állapotának ilyen ismerete lehetséges (például ismerjük a Nap és a bolygók helyzetét és sebességeit).

Termodinamikai rendszereknél azonban erre nincs esély, ott a rettenetesen sok részecske rettenetesen sok szabadsági foka helyett néhány (igen kis számú) függetlenül változható állapotjelzővel (szabadsági fokkal) írjuk le a rendszert.

 Makroállapot 

 Egy rendszer makroállapota alatt a rendszer leírására használt, kis számú állapotjelző által meghatározott állapotot értjük, miközben a rendszer minden részecskéjének minden helykoordinátáját és sebességkoordinátáját nem ismerjük. 

Például egy tartályban lévő gáz esetében a sok milliárdnyi molekula hely- és sebességkoordinátái helyett a gáz makroállapotát a nyomásával, hőmérsékletével és térfogatával egyértelműen meghatároztuk. Vegyük észre, hogy egy ilyen, adott nyomású, hőmérsékletű, térfogatú állapot rettenetesen sok különböző módon megvalósulhat, ha az egyes pici molekulákra gondolunk.

De hogyan függenek össze a mikro- és makroállapotok? Először is:

 Minden makroállapotot több különböző mikroállapot valósíthat meg (ritka, kivételes eset, ha csak egy) 

 DE 

 Egy mikroállapot csak egy makroállapothoz tartozhat. 

És ami még fontosabb: a mikroállapotok valószínűsége tökéletesen azonos. Ezt a statisztikus fizikában minden előzmény nélkül feltesszük, persze valaki mondhatja azt is, hogy ha ezen feltevéssel kiépített elmélet egyezést mutat a tapasztalattal, akkor lényegében megerősítést kapott a kiinduló feltevésünk, vagyis a mikroállapotok azonos valószínűsége valami alapvető "kommunisztikus" természettörvény. Ezen filozófia vita helyett nézzük inkább ennek következményét: mindig az a makroállapot fog nagyobb valószínűséggel megvalósulni, létrejönni, amelyikhez több mikroállapot tartozik, amelyik több mikroállapottal valósítható meg. De ez már a hőtan 2. főtételéhez vezet át, mi viszont még az 1. főtételt sem veséztük ki.