Gyorskeresés

Az égi mechanikai paradoxon 14079

 Az égi mechanikai paradoxon születése 

1965-ben a NASA Gemini IV küldetése során az első amerikai űrséta előtti feladat az volt, hogy a Föld körüli keringési pályára állt űrhajóval megpróbálták az őket épp feljuttató Titan II rakéta második fokozatát megközelíteni, azaz két űreszközzel egy "űrrandevút" megvalósítani. Ez amiatt különösen nehéz volt, mert még nem készültek el az ezt segítő, irányító eszközök (szenzorok, radar, számítógép), így kézi vezérléssel próbálták meg a műveletet.

Először az űrhajósok beforgatták az űrhajójukat olyan helyzetbe, hogy a hajtómű működtetése majd a hordozórakéta felé lökje őket. Ezután rövid időre beindították a hajtóművet. Azt várták, hogy kissé közelebb kerülnek a hodozórakétához. Azonban meglepődve az elenezőjét tapasztalták: még jobban eltávolodtak tőle. Az újabb próbálkozások még tovább növelték a távolságot, míg végül a sok üzemanyaghasználat miatt siketelenül hagyták abba a betervezett feladatot. Később jöttek rá, hogy a furcsaság oka az ún. égi mechanikai paradoxon, mely szerint egy keringési pályán gyorsítás hatására a keringő test sebessége csökken, lassítás hatására pedig növekszik.

Hasonló furcsaság, amikor egy Föld körül keringő műholdat (vagy űrállomást) a keringő mozgása során a ritka légkör súrlódása, légellenállása folyamatosan "lassít", ennek ellenére a keringési (kerületi) sebesség egyre csak növekszik. Ez minden autós álma: a légellenállás egyre csak gyorsítaná a kocsit (bár ez veszélyes is lenne, a fékeknek mindenképp működnie kellene...). Nézzük, miért van ez a furcsaság, látszólagos ellentmondás!
 

 Az égi mechanikai paradoxon működése 

A rakéta működése során az űrhajóra tolóerő hat, ami a rakéta által a kifújt égéstermék felgyorsításához ifejtett erőellenereje, reakcióereje. A tolóerő munkája pozitív, hiszen most gyorsító üzemmódban előrefelé (a menetirányba) hat, tehát az űrhajó elmozdulásával azonos irányba. Emiatt a tolóerő munkája pozitív, vagyis a tolóerő munkavégzése energiát ad az űrhajónak. Ez alapján várhatjuk azt, hogy a kapott energia révén az űrhajónak meg fog nőni a mozgási energiája, amit a munkatétel állít:

\[W=\mathit{\Delta}E^{\mathrm{mozg}}\]

A gondolatmenetünkben az a hiba, hogy a munkatétel bal oldalán nem a testre ható egyik erőnek a munkája szerepel, hanem az összes erőé:

\[\Sigma W=\mathit{\Delta}E^{\mathrm{mozg}}\]

De hát milyen másik erő munkája játszik még szerepet, amit be kellene írni a munkatétel bal oldalába? Hát a gravitációs erőé, ami a Gemini 4 esetében a Föld gravitációs vonzását jelentette. Az égitestek körül nagy pontossággal centrális gravitációs mező van, ami olyan, mintha az égitest tömege a közepére lenne besűrítve egy pontszerű kis térfogatba. Egy \(M\) tömegű vonzócentrum tömegközéppontjától \(r\) távolságban lévő \(m\) tömegű űrhajó gravitációs potenciális energiája, ami definíció szerint megegyezik a gravitációs erő munkvégzésével, miközben az űrhajó elmozdul ebből a pontból a referenciapontként választott végtelen távoli pontba:

\[E^{\mathrm{pot}}=-f\frac{Mm}{r}\]

Amikor egy körpályán keringú űrhajót a hajtóműve tolóereje gyorsít, akkor a sebesség irányába, azaz a pálya érintője irányba kell hasson. Ettől az űrhajó kissé el fog távolodik a vonzócentrumtól:

Ha pedig eltávolodik, akkor a gravitációs potenciális energiája megnő, hiszen egy nagyobb \(r\) érték lesz a képlet nevezőjében, amitől a tört értéke kisebb lesz, de a negatív előjel miatt ez egy kisebb abszolút értékű negatív számot fog jelenteni, ami nagyobb szám az eredetinél. Tehát az űrhajó sebessége amiatt fog csökkeni (annak ellenére, hogy gyorsítja a tolóerő), mert amennyi energiát kap a tolóerő munkavégzése által, annál az energiánál még többet kell elhasználnia arra, hogy biztosítsa a gravitációs potenciális energiája megnövekedését (a távolabbi helyzetből következően). Más szóval, a hajtómű működtetése által kapott energia azért nem tudja növelni az űrhajó mozgási energiáját, mert azt "elviszi" az eltávolodás miatti helyzetienergia-növekedés, sőt, még annál is többet visz el, ezért aztán még csökkenni is fog a mozgási energia.

A paradoxon háttere, hogy az emberi agy mindig próbál egyszerűsíteni, csak sajnos időnként ezt (az egyébként sokszor hasznos) egyszerűsítést már túlzásba visszük. A munkatételben a mozgási energia megváltozásához szükségünk van  munkavégzésére, és amikor a tolóerő munkáját számba vesszük, akkor (hibásan) azt gondoljuk, már elintéztük, letudtuk a munkavégzéseket. De nem, mert a tolóerőn túl a gravitációs erő is működik eközben (csendben) a háttérben, és az ő munkája is számít. Ráadásul mivel kétszer akkora, mint a tolóerőé, ezért ő hatása lesz a domináns.
 

 Levezetés 

Az égi mechanikai paradoxon akármilyen alakú pályákon igaz, de mi most a gimnáziumi matematikával végigszámolhatóság kedvéért csak a legegyszerűbb esetben, körpálya esetében vezetjük le. A kozmikus sebességeket tárgyaló oldalon már levezettük, hogy körpályás keringéskor a vonzócentrum gravitációs ereje egymaga biztosítja a körmozgáshoz szükséges centripetális gyorsulást:

\[f\frac{mM}{r^2}=m\frac{v^2}{r}\]

Fejezzük ki ebből az egyenletből az \(m\) tömegű keringő test \(\displaystyle \frac{1}{2}mv^2\) mozgási energiáját! Először szorozzunk az \(r\) pályasugárral:

\[f\frac{mM}{r}=mv^2\]

majd osszunk 2-vel:

\[f\frac{mM}{2r}=\frac{1}{2}mv^2\]

Tehát:

\[E^{\mathrm{mozg}}=\frac{1}{2}mv^2=f\frac{Mm}{2r}\]

A keringő test gravitációs potenciális energiáját pedig az előbb már felírtuk:

\[E^{\mathrm{pot}}=-f\frac{Mm}{r}\]

Az egyenletekből látható, hogy a potenciális energia mindig kétszer nagyobb abszolút értékű, mint a mozgási energia (csak a potenciális energia negatív előjelű, a mozgási pedig pozitív). Ebből következően az összes mechanikai energia (a továbbiakban összenergia) mindig pont ugyanakkora abszolút értékű, mint a mozgási energia, és szintén fele nagyságú a gravitációs potenciálishoz képest:

Ha az energiák mindig így viszonyulnak egymáshoz, abból az is következok, hogy ha bármely körpályáról bármelyik másik körpályára áttérünk, akkor eközben a potenciális energia mindig 2-szer nagyobbat fog változni (abszolút értékben), mint amekkorát a mozgási energia és az összenergia változnak.

A tolóerő munkája az űrhajó összenergiáját változtatja meg, például gyorsításkor növeli azt. Az összenergia növekedése azonban úgy következik be, hogy a nagysága csökken, ugyanis a kezdetinél kisebb negatív értékűvé válik. Eközben a mozgási energia, ami ugyanakkora abszolút értékű, mint az összenergia, az is csökkenni fog, a potenciális energia pedig (az összenergiához hasonlóan) úgy fog növekedni, hogy a nagysága kisebbé válik, kisebb negatív értékű lesz, mint kezdetben volt.

A gyakorlatban ha egy körpályán haladó űrhajó úgy használja a hajtóművét, hogy az érintő irányba fejtsen ki tolóerőt, akkor a keringési pálya már nem kör alakú lesz. Körpályáról körpályára áttéréshez bonyolultan kellene változtatgatni a hajtómű tolóerejének irányá, de mi csak körpályát tudunk számolni gimis szinten, ellipszist már nem.

A fenti összefüggések a Bohr-modell hidrogénatomjában is fennállnak, ugyanis az ottani, a protonból álló mag körül keringő elektron is egy olyan centrális erőtérben mozog, melyben a rá ható vonzóerő a távolság négyzetével fordítottan arányos, vagyis az erőtörvény hasonló struktúrájú, csak más természetű, így konstansokban tér csak el a végeredmény.