Gyorskeresés

Az idő lassabban telik erősebb gravitációs mezőben 10437

Az általános relativitáselmélet szerint minél erősebb a gravitációs mező, annál lassabban telik az idő, vagyis az órák lassabban járnak. Az effektus kicsi, de nagyon pontos órákkal már mérhető.

Japán kutatók Katori Hidetosi vezetésével 2018‑ban kezdték a méréseket, melyekből 2020. áprilisában lett publikáció a Nature Photonics folyóiratban. A helyszínhez egy magas épületre volt szükség, erre ideális választásnak bizonyult a 2012‑ben elkészült tokiói Skytree műsorszóró torony a maga $634\ \mathrm{méteres}$ magasságával. Ebben a tengerszint felett $3,6\ \mathrm{méteren}$ illetve $456,3\ \mathrm{méteren}$ helyeztek el egy‑egy órát, vagyis $453\ \mathrm{méter}$ volt a magasságkülönbség. A lenti óra közelebb van a Föld tömegközéppontjához, ezért lent erősebb a gravitációs mező. De mégis hány $\%$‑kal? A gravitációs térerősség, amit a szabadon eső test gyorsulásával lehet jellemezni, egy \(m\) tömegű testtől, annak tömegközéppontjától \(r\) távolságra:

\[g=f\cdot \frac{m}{\ r^2}\]

A lenti óra helyén ez:

\[g=f\cdot \frac{m_{\mathrm{F}}}{(r_{\mathrm{F}}+3,6)^2}\]

A Föld sugara:

\(r_{\mathrm{F}}=6374\ \mathrm{km}=6,374\cdot 10^6\ \mathrm{m}\)

a Föld tömege:

\(m_{\mathrm{F}}=6\cdot 10^{24}\ \mathrm{kg}\)

a gravitációs állandó pedig:

\(\displaystyle f=6,67\cdot 10^{-11}\ \mathrm{\frac{\ Nm^2}{\ kg^2}}\)

Ezeket beírva, az alacsonyabban lévő óra helyén a nehézségi gyorsulás:

\[g=f\cdot \frac{m_{\mathrm{F}}}{(r_{\mathrm{F}}+3,6)^2}\]

\[g_{\mathrm{A}}=6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{6\cdot 10^{24}}{(6,374\cdot 10^6+3,6)^2}\]

\[g_{\mathrm{A}}=6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{6\cdot 10^{24}}{(6,3740036\cdot 10^6)^2}\]

\[g_{\mathrm{A}}=9,8503685\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\]

Ha a magasabban lévő óra helyén számoljuk ki a \(g_{\mathrm{M}}\)-et:

\[g_{\mathrm{M}}=6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{6\cdot 10^{24}}{(6,374\cdot 10^6+456,3)^2}\]

\[g_{\mathrm{M}}=6,67\cdot 10^{-11}\cdot \frac{6\cdot 10^{24}}{(6,3744563\cdot 10^6)^2}\]

\[g_{\mathrm{M}}=9,8489694\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\]

Hány %-kal nagyobb az alsó óra helyén a nehézségi gyorsulás, mint a felső óra helyén?

\[\frac{9,8503685}{9,8489694}=1,000142=100,0142\%\]

vagyis csupán \(0,0142\%\)-kal. A mérések megerősítették a jóslatot: napi $4\ \mathrm{nanoszekundummal}$ lassabban járt a lenti óra.

Nem ez volt az első, hogy sikerült kimérni ezt az effektust, de itt miniatürizált optikai rácsos óréákat használtak, melyeket szinte bárhol "bevethetők" a régi, nagy méretű, és mindenre roppant érzékeny cézium atomórákkal ellentétben. Ráadásul ezek az órák még pontosbbak is az elődeiknél: 16 milliárd évente $1\ \mathrm{másodperc}$ a hibahatáruk.