Gyorskeresés

de Broglie-hipotézis, anyaghullámok 4539

Planck a feketetest-sugárzás spektrális eloszlását próbálta értelmezni, levezetni. A feketetest (üreg) falában található, elektromágneses sugárzásokat elnyelni és kibocsátani képes "oszcillátorok" (azaz rezgő objektumok; az atomokban lévő kis pozitív és negatív töltések, akik az elektronos vonzás "rugóereje" miatt rezgőmozgásra képesek, és rezgés közben gyorsuló töltésként elektromágneses hullámokat sugároznak), energiája nem vehet fel folytonosan változva tetszőleges értékeket, hanem csak véges nagyságú lépésekben módosulhat, csak lépcsőzetesen változhat, "ugrálhat":

\[E_{\mathrm{oszc.}}=n\cdot \varepsilon\]

ahol \(n\) pozitív egész szám, \(\varepsilon\) az oszcillátor energiájának lépésköze.

Egy oszcillátor emiatt a ráeső $f$ frekvenciájú sugárzásból csak adagonként vehet fel energiát, ahogy leadni is csak adagonként (lépésközönként) tudja a saját energiáját. Az energiaváltozás (energia-lépésköz) frekvenciafüggő:

\[\Delta E_{\mathrm{oszc.}}=h\cdot f\]

Ez a hipotézis a fényről alkotott elképzelésünket, szemléletünket jelentősen módosította. Hiszen a fényre 1801 óta (Young fényinterferenciás kísérletei óta) egyértelműen hullámként gondoltak, de 1905-től, a fotoeffektus Einstein-féle elméletében a foton határozottan részecskejelleggel bírt. 1905 után mindenki számára ismert volt a furcsaság, hogy a fény egyszerre bír hullámjelleggel és részecskejelleggel. Ha a foton, mint mikroszkopikus objektum ilyen szokatlan, "skizofrén" kettős életet él, akkor miért ne lehetne, hogy egy másik mikroszkopikus objektum, mondjuk az elektron is hasonlóan kettős természetű legyen? Ez a (ma már kézenfekvő) feltételezés csak majd 20 évvel később Louis de Brogli (ejtsd: Lui dö Brojl) doktori dolgozatában bukkant fel 1924-ben. A mindössze 32 éves francia fizikus az akkoriban szakmai körökben már elismert relativitáselméletből indult ki, annak is az energia-impulzus összefüggéséből:

\[E^2=p^2c^2+m^2c^4\]

A foton tömeg nulla, így fotonra:

\[{E^2}_{\mathrm{foton}}=p^2c^2\]

Mivel a mennyiségek nemnegatívak, ezért gyököt vonhatunk:

\[E=p\cdot c\]

Továbbá tudjuk a foton energiáját:

\[E=h\cdot f\]

Az utolsó két egyenletből:

\[p\cdot c=h\cdot f\]

A hullámok terjedési sebessége, frekvenciája és hullámhossza között viszont fennáll:

\[c=\lambda \cdot f\]

Ezt beírva:

\[p\cdot \lambda \cdot f=h\cdot f\]

amiből:

\[\boxed{\lambda =\frac{h}{p}}\]

illetve

\[\boxed{p=\frac{h}{\lambda}}\]

Tehát a foton hullámhossza és lendülete szorosan összefüggenek, konkrétan fordítottan arányosak, és az arányossági tényező a $h$ Planck-állandó. Louis de Broglie hipotézise az volt, hogy ezen összefüggések esetleg fennállnak az elektronra is. A Bohr-modellben a hidrogénatom egyetlen elektronja számára csak az olyan körpályák megengedettek, melyeknél az elektron perdületére fennáll egy (önkényes) feltétel, miszerint a perdület csak egész számszorosa lehet a $\displaystyle \frac{h}{2\pi }$ állandónak :

\[m\cdot v\cdot r=n\cdot \frac{h}{2\pi }\]

Mivel

\[p=m\cdot v=\frac{h}{\lambda }\]

ezt beírva a Bohr-posztulátumba:

\[\frac{h}{\lambda }\cdot r=n\cdot \frac{h}{2\pi }\]

amit rendezve:

\[2\pi \cdot r=n\cdot \lambda \]

Az egyenlet bal oldalán az elektron $r$ sugarú körpályájának kerülete van! Tehát az önkényes bohri perdületkvantálás szemléletes jelentést nyer: azok a körpályák megengedettek, melyeknél az elektron de Broglie-hullámhossza a körpálya kerületére pont egész számszor ráfér. Hasonkóan ahhoz, ahogy egy húron kialakuló állóhullám esetében a félhullámhossznak pont egész számszor kell ráférnie a húr hosszára



Tehát de Broglie az önkényes bohri posztulátumot megtöltötte szemléletes fizikai tartalommal. De vajon igaz is mindez? Minden $p$ impulzussal rendelkező részecskének van

\[\lambda =\frac{h}{p}\]

hullámhossza? Nézzünk példákat! Egy autó tömege nagyságrendileg

\[m=1000\ \mathrm{kg}\]

a sebessége legyen

\[v=72\ \mathrm{\frac{km}{h}}=20\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]

Ezek alapján a lendülete:

\[p=m\cdot v=1000\ \mathrm{kg}\cdot 20\ \mathrm{\frac{m}{s}}=20\ 000\ \mathrm{\frac{kg\cdot m}{s}}\]

A de Broglie hullámhossza pedig:

\[\lambda =\frac{h}{p}\]

\[\lambda =\frac{6,6\cdot {10}^{-34}\ \mathrm{J}\cdot \mathrm{s}}{20\ 000\ \mathrm{\displaystyle \frac{kg\cdot m}{s}}}\]

\[\lambda =3,3\cdot {10}^{-38}\ \mathrm{m}\]

De a hullámtulajdonságok akkor válnak jelentőssé, ha a hullám olyan méretű akadályok között halad, amik a hullámhosszával összemérhetők. Egy mozgó autó (és általában a hétköznapi tárgyak) hullámtulajdonságai ezek alapján nem tudnak megjelenni, ezért nem tapasztaljuk az anyaghullámok kettős viselkedését a hétköznapi életben.
 

 A Davisson-Germer-kísérlet 

A de Broglie hipotézis, levezetése még csak egy elmélet, amit még kísérletileg meg kell erősíteni. Ha egy elektront nagyságrendileg \(100\ \mathrm{V}\) feszültséggel gyorsítunk fel, akkor akkora lesz a lendülete, hogy a hullámhossza a kristályos anyagok atomsíkjainak távolságával lesz azonos, vagyis \(\approx 0,1\ \mathrm{nm}\) lesz. Ilyenkor a kristályrácsra eső elekronhullámok az egyes rácssíkokról visszaverődve erősíthetik vagy gyengíthetik egymást (hasonlóan ahhoz, ahogy a fényhullámok vékony rétegekre, például víz tetején úszó olajhártyára esve, annak felső és alsó felületéről is visszaverődve, a visszavert hullámok bizonyos irányokban erősíti-gyengítik egymást). 1913-ban Bragg ilyen módszerre vizsgálta röntgensugarak reflexióját kristályokról, aztán de Broglie hipotézise után kiderült, hogy a módszer elektronhullámokkal is működik:


forrás: https://www.ulfkonrad.de/

Itt kék színű egynes szakaszok mutatják a bejövő és a visszaverődő hullámok terjedési irányát. A fenti bejövő hullám a felső atomsíkról verődik vissza, az alsóbb bejövő pedig a középső atomsíkról. A középső rácssíkról visszaverődő hullámvonulat hosszabb utat tesz meg, méghozzá a kettő piros színű \(\displaystyle \frac{\delta}{2}\) szakasznyival, tehát a két hullámvonulat útkülönbsége \(\(\Delta s=\delta\). Ha erre az útkülönbségre pont a \(\lambda\) hullámhossz egész számszorosa fér rá (más szóval a félhullámhossz páros számszorosa), akkor a visszaverősédsi irányban maximális erősítés következik be, ha pedig a félhullámhossz páratlan számszorosa, akkor maximális gyengítés (azonos amplitúdójú hullámok esetén teljes gyengítés, azz kioltás). Két amerikai fizikus (Davisson és Germer) többek között ilyen kísérlettel bizonyította 1927-ben az anyaghullámok létét elektronra.

Demonstrációs taneszközként nem a fenti "Bragg-reflexiós" elrendezés, hanem az ún. Debye-Scherrer-elrendezésű elektrondiffrakciós berendezés szokott lenni az iskolákban, egyetemeken. Ebben a kristály préselt, melyben sok apró egykristály darab van véletlen irányú síkokban, a lapka vastagsága mindössze \(\approx 10\ \mathrm{nm}\). Az elhajlási kép koncentrikus körgyűrűk, melyek úgy figyelhetők meg, hogy a tákuumozott üvegtartály falát fluoreszcens anyaggal vonják be, mely a becsapódó elektronok hatására (általában zölden) világít.

Az elektronok hullámtermészetére a német Jönsson 1961-ben a kétréses interferencia-kísérletet is elvégezte elektronnyalábbal (mellyel Young 1801-ben bizonyította a fény hullámtermészetét). Később a kétréses interferenciát egyedi elektronokkal, sőt egyedi atomokkal is megcsinálták, vagyis a részecske ilyenkor "önmagával interferált"; azaz a kvantummechanikai leírásnak megfelelően "bejárta" az összes lehetséges útvonalat, és azok valószínűségei alapján "csapódott be végül valahova", a sok pontszerű becsapódás összessége rajzolta ki a megszokott interferenciaképet.

Az elektron hullámtermészetén alapul az elektronmikroszkóp, mellyel nagyobb felbontás érhető el, mint a fénymikroszkóppal ugyanis a felbontóképesség elméleti határa a

\[d=\frac{\lambda}{n\cdot \sin{\Theta}}\]

Abbe-képlet alapján egyenes arányos a "megvilágító" hullám hullámhosszával, vagyis minél kisebb részleteket akarunk láthatóvá tenni, annál kisebb hullámhosszt kell alkalmaznunk. De a látható fény tartománya adott. Viszont az elektront egyre nagyobb sebességre felgyorsítva

\[\lambda=\frac{h}{p}\]

alapján egyre kisebb hullámhosszúságú elektronhullámot kaphatunk, így elektronmikroszkóppal kisebb részek is láthatóvá tehetők, mint a legjobb fénymikroszkópokkal.

Az anyaghullámok létét később protonokra, neutronokra, majd atomokra és molekulákra is sikerült kimutatni.