Két függőleges, párhuzamos, elektromosan töltött fémlemez között $167\ \mathrm{V}$ feszültség van. A csősugarak (protonok) vizsgálata során egy proton a bal oldali pozitív fémlemezhez csapódik, majd onnan a vízszintessel $60^\circ$‑os szögben $4\cdot 10^4\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}$ sebességgel folytatja útját a lemezek között. A két lemez távolsága $4\ \mathrm{cm}$.
(A proton tömege $1,67\cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}$, az elemi töltés nagysága $1,6\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}$.)
a) Mennyi idő alatt éri el a proton a negatív töltésű lemezt?
$4\cdot 10^{-7}\ \mathrm{m\small á\normalsize sodperc}$ alatt éri el.
A tér homogén. A térerősség a a kondenzátorlemezek között:
$$E=\frac{U}{d}$$
$$E=\frac{167}{4\cdot 10^{-2}}$$
$$E=4,175\cdot 10^3\ \mathrm{\frac{N}{C}}$$
A protonra ható erő:
$$F=E\cdot q$$
$$F=4,175\cdot 10^3\ \mathrm{\frac{N}{C}}\cdot 1,6\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}$$
$$F=6,68\cdot 10^{-16}\ \mathrm{N}$$
Innen a gyorsulás:
$$a=\frac{F}{m}$$
$$a=\mathrm{\frac{6,68\cdot 10^{-16}\ N}{1,67\cdot 10^{-27}\ kg}}$$
$$a=4\cdot 10^{11}\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}$$
Iránya vízszintes lesz.
Adatok:
$a_x=4\cdot 10^{11}\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{\ s^2}}$
$v_0= 4\cdot 10^4\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}$
$\alpha =60^\circ $
$d=x=4\ \mathrm{cm}=0,04\ \mathrm{m}$
$t=?$
$y=?$, vagyis hol csapódik be?
A mozgás két egymástól független mozgás eredőjeként írható le.
(1) $x$ irányban egy egyenletesen változó mozgás $v_{0x}$ kezdősebességgel, ahol
$$v_{0x}=v_0\cdot \cos{60^\circ }$$
$$v_{0x}=v_0\cdot \frac{1}{2}=2\cdot 10^4\ \mathrm{\frac{m}{s}}$$
$$x=\frac{a_x}{2}t^2+v_{0x}t$$
(2) $y$ irányban egyenes vonalú egyenletes mozgás $v_{0y}$ sebességgel:
$$y=v_0\cdot \sin{60^\circ }\cdot t$$
$$y=v_0\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}t$$
a) Az (1) egyenletből - mely egy másodfokú egyenlet - az idő kiszámítható, csak az egyik gyöknek van fizikai értelme:
Átrendezve:
$$a_x\cdot t^2+2v_{0x}t–2x=0$$
$$4\cdot 10^{11}\cdot t^2+4\cdot 10^4\cdot t–8\cdot 10^{-2}=0$$
$$t=\frac{-4\cdot 10^4\pm \sqrt{16\cdot 10^8+4\cdot 4\cdot\ 10^{11}\cdot 8\cdot 10^{-2}}}{8\cdot 10^{11}}$$
$$t=4\cdot 10^{-7}\ \mathrm{s}$$
b) Hol csapódik be a proton a jobb oldali lemezbe? (A földi gravitációs tér elhanyagolható.)
$y=1,38\ \mathrm{cm}$
b)
$t=4\cdot 10^{-7}\ \mathrm{s}$
$v_0=4\cdot 10^4\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}$
$$y=v_{0y}\cdot t$$
$$y=v_0\cdot \sin{60^\circ }\cdot t$$
$$y=v_0\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}t$$
$$y=1,38\cdot 10^{-2}\ \mathrm{m}=1,38\ \mathrm{cm}$$
c) Milyen lesz a pálya alakja? Ábrázoljon néhány pontot $(X–Y)$ koordináta rendszerben!
A pálya alakja parabola lesz.
c) A pálya alakja: parabola
| $t\mathrm{(s)}$ | $\ \ \ \ \ x\mathrm{(m)}\ \ \ \ \ $ | $y\mathrm{(m)}$ |
| 0,00000001 | 0,0002 | $\ \ $0,000346$\ \ $ |
| 0,00000005 | 0,0015 | 0,001732 |
| 0,00000010 | 0,0040 | 0,003464 |
| 0,00000015 | 0,0075 | 0,005196 |
| 0,00000020 | 0,0120 | 0,006928 |
| 0,00000025 | 0,0175 | 0,008660 |
| 0,00000030 | 0,0240 | 0,010392 |
| 0,00000035 | 0,0315 | 0,012124 |
| 0,00000040 | 0,0400 | 0,013856 |
A pálya alakját analitikusan is meg lehet adni, de ez nem volt kérdés:
(2)‑ből az időt kifejezve:
$$t=\frac{2\cdot y}{v_0\sqrt{3}}$$
majd ezt (1)‑be beírva:
$$x=\frac{a_x}{2}{\left(\frac{2}{v_0\sqrt{3}}\right)}^2y^2+\frac{1}{2}\ v_0\ \frac{2}{v_0\sqrt{3}}\ y$$
$$x=\frac{2\cdot a_x}{3\cdot {v_0}^2}\ y^2+\frac{1}{\sqrt{3}}\ y$$
$$x=166,7\cdot y^2+0,58\cdot y$$
vagyis egy másodfokú görbe.
Néhány pont koordinátája:
$x$ számítása pár előre megadott $y$ értéknél
| $x\mathrm{(m)}$ | $y\mathrm{(m)}$ |
| 0,000 | 0,000 |
| 0,002 | 0,002 |
| 0,005 | 0,004 |
| 0,009 | 0,006 |
| 0,015 | 0,008 |
| 0,022 | 0,010 |
| 0,031 | 0,012 |
| 0,041 | 0,014 |