A Föld felszínétől $20\ \mathrm{m\small é\normalsize ter}$ magasságban $50\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}$ kezdősebességgel fölfelé hajítunk egy $100\ \mathrm{g}$ tömegű testet.
a) Milyen magasan lenne a Föld felszínétől, és mekkora lenne az elmozdulása a $t=8\ \mathrm{s}$ időpontban, ha nem lenne közegellenállás?
$100\ \mathrm{m}$ magasan lenne.
a) A nulla szintnek tekintsük a fellövés helyét, a torony tetejét, illetve az erkélyt!
Az elmozdulás‑vektor nagyságát megkapjuk, ha behelyettesítünk a megfelelő út‑idő összefüggésbe:
$$\left|\underline{\Delta r}\right|=v_0\cdot t+g\cdot \frac{\ t^2}{2}$$
$$\left|\underline{\Delta r}\right|=50\cdot 8-5\cdot 64$$
$$\left|\underline{\Delta r}\right|=400-320$$
$$\left|\underline{\Delta r}\right|=80\ \mathrm{m}$$
Mivel $20\ \mathrm{m}$ magasból történt a hajítás, ezért a test a Föld felszínétől számítva $100\ \mathrm{m}$ magasan lesz a $8.\ \mathrm{m\small á\normalsize sodperc}$ végén.
b) Mekkora lenne a befutott út ezen időpontig?
$170\ \mathrm{m}$ lenne.
b) A megtett út kiszámításához viszont tudni kell azt is, hogy ekkor még felfelé megy a test, vagy pedig már visszafelé jön. Ehhez meg kell gondolni azt, hogy vajon mennyi ideig megy felfelé? Mivel $50\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}$ a kezdősebesség, mely minden másodpercben $50\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}$‑mal csökken, ezért felfelé csak $5\ \mathrm{s}$‑ig mehet a test. Tehát a $8.\ \mathrm{m\small á\normalsize sodperc}$ végéig már $t_{le}=3\ \mathrm{s}$‑ig lefelé esik.
Ki kell tehát számolni, hogy milyen magasra megy a test, majd pedig $3\ \mathrm{s}$ alatt mennyivel kerül lejjebb a maximális magassághoz képest. A kettő összege adja a test által megtett utat.
Az emelkedés magassága az út‑idő összefüggés alapján:
$$h_{emelked\small \textit{é}\normalsize s}=v_0\cdot t_{emelked\small \textit{é}\normalsize s}\ –g\cdot \frac{t_{emelked\small \textit{é}\normalsize s}^2}{2}$$
$$h_{emelked\small \textit{é}\normalsize s}=50\cdot 5–5\cdot 25$$
$$h_{emelked\small \textit{é}\normalsize s}=250–125$$
$$h_{emelked\small \textit{é}\normalsize s}=125\ \mathrm{m}$$
lefelé $3\ \mathrm{s}$‑ig esik, megtett út:
$$s=g\cdot t_{le}^2$$
$$s=5\cdot 9$$
$$s=45\ \mathrm{m}$$
Tehát a test által megtett teljes út hossza $170\ \mathrm{m}$.
A feladat szépen mutatja, hogy mi a különbség az elmozdulás és a megtett út fogalma között.
c) Mennyi idő múlva érkezhet a kilőtt lövedék a talajra?
$10\ \mathrm{m\small á\normalsize sodperc}$ múlva.
c) A b) részben kiszámítottuk, hogy $5\ \mathrm{s}$ ideig megy felfelé a test. Tehát visszafelé is ennyi időre van szükség, vagyis összesen $10\ \mathrm{s}$ ideig tart a mozgás.
d) Rajzolja fel egymás alá a mozgás hely-idő, út-idő, sebesség-idő és gyorsulás-idő grafikonjait!
Ehhez segítségként töltse ki az alábbi táblázatot:
| idő $\mathrm{(s)}$ | hely $\mathrm{(m)}$ | út $\mathrm{(m)}$ | sebesség $\mathrm{\displaystyle \left(\frac{m}{s}\right)}$ | gyorsulás $\mathrm{\displaystyle \left(\frac{m}{\ s^2}\right)}$ | erő $\mathrm{(N)}$ | lendület $\mathrm{\displaystyle \left(\frac{kgm}{s}\right)}$ |
| 1 | ||||||
| 2 | ||||||
| 3 | ||||||
| 4 | ||||||
| 5 | ||||||
| 6 | ||||||
| 7 | ||||||
| 8 | ||||||
| 9 | ||||||
| 10 | ||||||
| . | ||||||
| . |
| idő $\mathrm{(s)}$ | hely $\mathrm{(m)}$ | út $\mathrm{(m)}$ | sebesség $\mathrm{\displaystyle \left(\frac{m}{s}\right)}$ | gyorsulás $\mathrm{\displaystyle \left(\frac{m}{\ s^2}\right)}$ | erő $\mathrm{(N)}$ | lendület $\mathrm{\displaystyle \left(\frac{kgm}{s}\right)}$ |
| 1 | 45 | 45 | 40 | -10 | -1 | 4 |
| 2 | 80 | 80 | 30 | -10 | -1 | 3 |
| 3 | 105 | 105 | 20 | -10 | -1 | 2 |
| 4 | 120 | 120 | 10 | -10 | -1 | 1 |
| 5 | 125 | 125 | 0 | -10 | -1 | 0 |
| 6 | 120 | 130 | -10 | -10 | -1 | -1 |
| 7 | 105 | 145 | -20 | -10 | -1 | -2 |
| 8 | 80 | 170 | -30 | -10 | -1 | -3 |
| 9 | 45 | 205 | -40 | -10 | -1 | -4 |
| 10 | 0 | 250 | -50 | -10 | -1 | -5 |
| . | ||||||
| . |
d) A grafikonokat célszerű egymás alá rajzolni, és az időnek azonos léptéket használni.
Az egyes pontokat össze lehet kötni, hiszen ténylegesen függvénykapcsolatról van szó, kiszámíthattuk volna például az $1,5\ \mathrm{s}$, vagy a $2,7\ \mathrm{s}$‑hoz tartozó értékeket is. A feladatban csak a $8\ \mathrm{s}$‑hoz tartozó értékeket kellett számítani, de bármely más időpontot is meg lehet adni.
Az ábrázolt függvények:
$\ \ \ \unicode{x2013}$ a hely‑idő függvény
$$r(t)=v_0\cdot t+g\cdot \frac{\ t^2}{2}$$
mely egy parabola egyenlete
$\ \ \ \unicode{x2013}$ az út‑idő függvény két félparabola, melynek első fele azonos a hely‑idő függvény parabolájával, míg a második fele:
$$s=125\ \mathrm{m}+g\cdot \displaystyle \frac{\ t^2}{2}$$
ahol a $t$ idő helyére a vizsgált időpont és az emelkedési idő különbségét kell írni, vagyis amitől kezdve már lefelé esik a test.
$\ \ \ \unicode{x2013}$ a sebesség‑idő függvény
$$v=v_0+g\cdot t$$
mely egy egyenes egyenlete. $50\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}$‑ról indul és negatív a meredeksége, hiszen a gyorsulás iránya ellentétes a sebesség irányával. A meredekség értéke a gyorsulás.
$\ \ \ \unicode{x2013}$ a gyorsulás‑idő függvény, mely egy konstansfüggvény, hiszen a gyorsulás végig azonos.
e) Milyen közelítést alkalmaz a számolás során?
A közegellenállást hanyagoltuk el a megoldás során.
e) A közegellenállást hanyagoltuk el a megoldás során. De meg kell jegyezni, hogy ilyen magasságok, befutott utak esetében ez ténylegesen nem hanyagolható el. A test biztosan nem megy fel $125\ \mathrm{m}$ magasra.