a)  Ha igen, a rezgés mely szakaszában (fázisában) következhet ez be?

Az első negyedben kell keresni ilyen pontot, amely a periódusidő negyed részének kb. az $\displaystyle \frac{1}{7}$‑e körül lehet.

a) Adatok:

$f=5\ \mathrm{\displaystyle \frac{1}{s}}$

$A=7\ \mathrm{cm}=0,07\ \mathrm{m}$

$$T=\frac{1}{f}$$

$$T=0,2\ \mathrm{s}$$

$$\omega =2\cdot \pi \cdot f$$

$$\omega=2\cdot 3,14\cdot 5$$

$$\omega=31,4\ \mathrm{\frac{1}{s}}$$

A mozgást leíró függvények:

A fadarab akkor hagyja el a lemezt, amikor gyorsulása éppen $g$ lesz. Ez a súlytalanság állapota. Ekkor a lemez kitérése a gyorsulásfüggvény

$$g=a=y\cdot \omega^2$$ 

alapján:

$$y=\frac{g}{\omega^2}$$

$$y=\frac{10}{1000}$$

$$y=1\ \mathrm{cm}$$ 

és felfelé, mivel a sebesség ellentétes a gyorsulás irányával.

A maximális gyorsulás:

$$a_{max}=A\cdot \omega^2$$

$$a_{max}=0,07\cdot 1000$$

$$a_{max}=70\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}=7\cdot g$$

Ez nem volt kérdés, csak érdekességként számítottuk ki.

Vagyis az első negyedben kell keresni ilyen pontot, mely lineáris becslést alkalmazva a periódusidő negyed részének kb. az $\displaystyle \frac{1}{7}$‑e körül lehet.

$T=0,2\ \mathrm{s}$, ennek negyede $0,05\ \mathrm{s}$.

Ennek hetede: $0,0071\ \mathrm{s}$. Ennél biztosan kisebbnek kell lennie, mivel a gyorsulásfüggvény meredeksége kezdetben (a $\varphi =0$ hely környezetében) nagyobb.

A ténylegesen számolt érték: $t=0,0045\ \mathrm{s}$

A lemez sebessége kétféleképp is számolható:

$$v=A\cdot \omega \cos{\omega }t$$

$$v=A\cdot \omega \sqrt{1-\sin^2}\omega t$$

$$v=\omega \sqrt{A^2-y^2 }$$

$$v=31,4\cdot 0,069$$

$$v=2,17\ \mathrm{\frac{m}{s}}$$

Felhasználva, hogy $y=A\cdot \sin{\omega }t$:

$$0,07^2=0,0049$$

$$0,01^2=0,0001$$

különbség: $0,0048$, gyöke $0,069$

vagy

$y=A\cdot \sin{\omega }t\ $‑ből az idő kiszámítása:

$$\sin{\omega }t=\frac{y}{A}$$

$$\sin{\omega }t=\frac{0,01}{0,07}$$

$$\sin{\omega }t=\frac{y}{A}$$

$$\sin{\omega }t=0,142$$

innen:

$$\omega t=\arcsin{0,142}$$

$$\omega t=0,143$$

ívmértékben!!!

innen

$$t=\frac{0,143}{31,4}$$

$$t=0,0045\ \mathrm{s}$$

ellenőrzésképpen ténylegesen kisebb a periódusidőnél, sőt a negyedénél és annak is kell lennie.

b)  Mi lehet ennek a feltétele?

A fadarab akkor hagyja el a lemezt, amikor gyorsulása éppen $g$ lesz.

Ekkor a test a súlytalanság állapotába kerül, és a sebesség iránya felfelé mutat, mely kezdősebességgel felrepülhet a test, mint egy függőlegesen felfelé hajított test.

c)  Milyen magasra repülhet fel a lemez végére helyezett kis fadarab?

$24,7\ \mathrm{cm}$ magasra.

c) $\omega t =0,143$

$$v=A\cdot \omega \cos{\omega t}$$

$$v=0,07\cdot 31,4\cdot \cos{0,143}$$

$$v=2,17\ \mathrm{\frac{m}{s}}$$

Az energia-megmaradás alapján:

$$m\cdot \frac{\ v^2}{2}=m\cdot g\cdot h$$

innen:

$$h=\frac{v^2}{2g}$$

$$h=\frac{0,217^2}{20}$$

$$h=0,237\ \mathrm{m}=23,7\ \mathrm{cm}$$

A teljes magassághoz még $+1\ \mathrm{cm}$-t kell hozzáadni, mert az egyensúlyi helyzethez képest nézzük. Így $24,7\ \mathrm{cm}$ magasra repül! Tömegtől nem függ!!!