Egy \(m=100\ \mathrm{kg}\) tömegű bolygójáró robot \(F_1=650\ \mathrm{N}\) erővel nyomja az \(R=7200\ \mathrm{km}\) sugarú, tökéletes gömb alakú, homogén anyagú bolygó felszínét a bolygó egyik pólusának környékén (azaz ott, ahol a bolygó forgástengelye metszi a bolygó felszínét). Ugyanez a robot a bolygó egyenlítőjén az égitest forgásának következtében \(F_2=620\ \mathrm{N}\) erővel nyomja a felszínt.
$\left(\gamma=6,67\cdot 10^{-11}\ \mathrm{\displaystyle\frac{\ N\cdot m^2}{kg^2}}\right)$
a) Mekkora a bolygó anyagának átlagos sűrűsége?
\(\varrho=3,23\cdot 10^3\ \mathrm{\displaystyle\frac{kg}{\ m^3}}\)
Adatok:
\(m=100\ \mathrm{kg}\)
\(F_1=650\ \mathrm{N}\)
\(F_2=620\ \mathrm{N}\)
\(R=7200\ \mathrm{km}\)
\(\gamma=6,67\cdot 10^{-11}\ \mathrm{\displaystyle\frac{\ N\cdot m^2}{kg^2}}\)
a) Annak felismerése, hogy a póluson mérhető nyomóerő egyenlő a gravitációs erővel, valamint a tömegvonzás törvényének felírása a testre:
1 + 1 pont
A bolygó átlagos sűrűségének meghatározása:
4 pont
(bontható)
A tömegvonzás törvényéből a bolygó tömegére
\[M=\frac{F_1\cdot R^2}{\gamma\cdot m}\]
\[M=5,05\cdot 10^{24}\ \mathrm{kg}\]
(rendezés és számítás, 1 + 1 pont) adódik.
Az átlagos sűrűség ebből:
\[\varrho=\frac{M}{V}\]
\[\varrho=3,23\cdot 10^3\ \mathrm{\frac{kg}{\ m^3}}\]
(képlet + számítás, 1 + 1 pont)
b) Mekkora a bolygó tengely körüli forgásának periódusideje?
\(T=8,55\ \mathrm{óra}\)
b) Annak felismerése, hogy a póluson, illetve az egyenlítőn mért nyomóerők különbsége egyenlő a centripetális erővel:
2 pont
(bontható)
\[F_{\mathrm{cp}}=F_1-F_2\]
A bolygó tengely körüli forgása periódusidejének meghatározása:
3 pont
(bontható)
\[F_{\mathrm{cp}}=m\cdot R\cdot \omega^2\]
amiből
\[T=\sqrt{\displaystyle\frac{m\cdot R\cdot 4\pi^2}{F_1-F_2}}\]
\[T=3,078\cdot 10^4\ \mathrm{s}\]
\[T=8,55\ \mathrm{óra}\]
(képlet + rendezés + számítás, 1 + 1 + 1 pont)
Összesen: 11 pont