Egy edényben ideális gáz van, melyet súlyos dugattyú zár el. A dugattyú keresztmetszete \(A=10\ \mathrm{cm^2}\). Az edény kezdetben az 1.) ábrán látható módon áll az asztalon. Ha az edényt a 2.) ábrának megfelelően oldalára fordítjuk, a dugattyú $1\ \mathrm{cm}$-t mozdul kifelé, ha pedig a 3.) ábrán látható módon szájával lefelé fordítjuk, további $1,2\ \mathrm{cm}$ elmozdulása lesz, szintén kifelé.
(A gáz hőmérséklete mindvégig állandónak tekinthető, a külső légnyomás \(10^5\ \mathrm{Pa}\).)
a) Mekkora a dugattyú súlya?
\(G_{\mathrm{D}}=9,1\ \mathrm{N}\)
Adatok:
\(A=10\ \mathrm{cm^2}\)
\(x_1=1\ \mathrm{cm}\)
\(x_2=1,2\ \mathrm{cm}\)
\(p_0=10^5\ \mathrm{Pa}\)
a) A Boyle‑Mariotte‑törvény felírása a gáz állapotváltozásaira:
6 pont
(bontható)
A dugattyú súlyából származó nyomást \(p_{\mathrm{D}}\)-vel jelölve az 1. és 2. állapotok közti változásra a Boyle‑Mariotte‑törvény:
\[(p_0+p_{\mathrm{D}})\cdot V_1=p_0\cdot (V_1+x_1\cdot A)\]
amiből:
\[p_{\mathrm{D}}\cdot V_1=p_0\cdot x_1\cdot A\tag{1} \label{(1)}\]
(3 pont)
A 2. és 3. állapotok közti változásra a Boyle‑Mariotte‑törvény:
\[p_0\cdot (V_1+x_1\cdot A)=(p_0-p_{\mathrm{D}})\cdot (V_1+(x_1+x_2)\cdot A)\]
amiből:
\[p_0\cdot x_1\cdot A=-p_{\mathrm{D}}\cdot V_1+(p_0-p_{\mathrm{D}})\cdot (x_1+x_2)\cdot A\tag{2} \label{(2)}\]
(3 pont)
A dugattyú súlyának meghatározása:
3 pont
(bontható)
Az $\eqref{(1)}$ és $\eqref{(2)}$ egyenleteket összeadva:
\[2\cdot p_0\cdot x_1\cdot A=p_0\cdot (x_1+x_2)\cdot A-p_{\mathrm{D}}\cdot (x_1+x_2)\cdot A\]
amiből:
\[p_{\mathrm{D}}=p_0\cdot \frac{x_2-x_1}{x_2+x_1}\]
\[p_{\mathrm{D}}=9,1\cdot 10^3\ \mathrm{Pa}\]
(rendezés + számítás, 1 + 1 pont)
\[G_{\mathrm{D}}=p_{\mathrm{D}}\cdot A\]
\[G_{\mathrm{D}}=9,1\ \mathrm{N}\]
(1 pont)
b) Mekkora a bezárt gáz kezdeti térfogata?
\(V_1=110\ \mathrm{cm^3}\)
b) A kezdeti térfogat meghatározása:
4 pont
(bontható)
Az első állapotváltozásra felírt Boyle‑Mariotte‑törvényből:
\[V_1=\frac{p_0\cdot x_1\cdot A}{p_{\mathrm{D}}}\]
\[V_1=110\ \mathrm{cm^3}\]
(képlet + számítás 2 + 2 pont)
Összesen: 13 pont