a)  Hány százaléka maradt meg a Földön a 6 milliárd évvel ezelőtti szupernóva‑robbanásban keletkezett \({}^{235}\mathrm{U}\)‑izotópnak és \({}^{238}\mathrm{U}\)‑izotópnak?

\({}^{235}\mathrm{U}\! :\ 0,27\%\)‑a maradt meg.

\({}^{238}\mathrm{U}\! :\ 39,4\%\)‑a maradt meg.

Adatok:

$T_{238}=4,47\cdot 10^9\ \mathrm{év}$

$T_{235}=704\cdot 10^6\ \mathrm{év}$

$99,28\%$

$0,72\%$

$t=6\cdot 10^9\ \mathrm{év}$
 

a) A bomlástörvény felírása az izotópok számának változására és a megmaradt izotópok arányának meghatározása:

5 pont
(bontható)

Mivel

\[N=N_0\cdot 2^{-\displaystyle\frac{t}{T}}\]

(1 pont)

ezért:

\({}^{235}\mathrm{U}\): \[\frac{N_{235}}{N_0}=2^{-\displaystyle\frac{6}{0,704}}\]

\[\frac{N_{235}}{N_0}=2,7\cdot 10^{-3}\]

azaz $0,27\%$‑a maradt meg.

(Képlet + számítás, 1 + 1 pont)

\({}^{238}\mathrm{U}\): \[\frac{N_{238}}{N_0}=2^{-\displaystyle\frac{6}{4,47}}\]

\[\frac{N_{238}}{N_0}=0,394\]

azaz $39,4\%$‑a maradt meg.

(Képlet + számítás, 1 + 1 pont)

b)  Körülbelül mennyi volt a két izotóp aránya a keletkezésükkor? Miért ennyire kicsi az \({}^{235}\mathrm{U}\) részaránya ma?

Körülbelül egyenlő arányban keletkeztek.

b) Az izotópok kezdeti arányának meghatározása:

5 pont
(bontható)

A mai izotóparány:

\[\frac{N_{238}}{N_{235}}=\frac{99,28}{0,72}\]

(1 pont)

A mai arányt az eredeti izotópmennyiségekkel felírva:

\[\frac{N_0\cdot 2^{-\displaystyle\frac{t}{T_{238}}}}{N_0\cdot 2^{-\displaystyle\frac{t}{T_{235}}}}=\frac{99,28}{0,72}\]

(2 pont)

amiből az eredeti arányra:

$$\frac{N'_0}{N_0}=0,95$$

$$(\mathrm{illetve}\ \frac{N_0}{N'_0}=1,05)$$

adódik, azaz körülbelül egyenlő arányban keletkeztek.

(2 pont)

Az \({}^{\textit{235}}U\) izotóp mai alacsony arányának indoklása:

2 pont

Az \({}^{235}\mathrm{U}\)‑izotóp felezési ideje jóval kisebb, így sokkal nagyobb része bomlott el, mint az \({}^{238}\mathrm{U}\)‑izotópnak.

Összesen: 12 pont