Hét kisebb, nagyjából Föld nagyságú bolygó kering egy csillagászati értelemben véve közelinek számító, tőlünk 39 fényévnyire található TRAPPIST‑1 nevű úgynevezett törpecsillag körül, jelentették be kutatók a NASA 2017. február 22‑én tartott sajtótájékoztatóján. A bolygóknak a csillagtól mért átlagos távolsága és keringési ideje az alábbi táblázatban található, mely adatokat grafikusan is ábrázoltunk.
| $R\mathrm{(CsE)}$ | $T\mathrm{(nap)}$ |
| 0,011 | 1,51 |
| 0,015 | 2,42 |
| 0,021 | 4,05 |
| 0,028 | 6,1 |
| 0,037 | 9,21 |
| 0,045 | 12,35 |
| 0,06 | 20 |
(A Csillagászati Egység - ami a Nap-Föld távolság: $1,5\cdot 10^{11}\ \mathrm{m}$, a gravitációs állandó: $\gamma =6,67\cdot 10^{-11}\ \mathrm{\displaystyle \frac{\ Nm^2}{\ kg^2}}$, a Nap tömege $2\cdot 10^{30}\ \mathrm{kg}$.)
a) A táblázati adatok és a grafikon segítségével is becsülje meg a törpecsillag tömegét! Mi fedezhető fel a görbe egyenletében?
$M\approx 0,15\cdot 10^{30}\ \mathrm{kg}$
A görbe egyenletében Kepler 3. törvénye fedezhető fel.
a) A függvényből a megfelelő adatok kiolvasása, Kepler 3. törvényének felismerése:
Írjuk fel a mozgásegyenletet! A Newton‑féle gravitációs erőtörvényt alkalmazzuk, ahol $M$ a csillag tömege, $m$ pedig az egyik bolygó tömege és tekintsük a bolygók mozgását kör alakúnak:
$$\frac{\gamma \cdot M\cdot m}{R^2}=m\cdot R\cdot \omega^2$$
ahol $\displaystyle \omega =\frac{2\cdot \pi }{T}$
$$\frac{\gamma \cdot M\cdot m}{R^2}=m\cdot R\cdot \frac{\ 4\cdot \pi^2}{T^2}$$
innen a bolygó $m$ tömegével egyszerűsíthetünk:
$$\frac{\gamma \cdot M}{\ 4\cdot \pi^2}=\frac{\ R^3}{\ T^2}$$
ami ténylegesen Kepler 3. törvénye. Innen:
$$T^2=\left(\frac{\ 4\cdot \pi^2}{\gamma \cdot M}\right)\cdot R^3$$
Ez fedezhető fel a görbe egyenletében, melyet négyzetre emelve:
$$y^2=1,81\cdot 10^6\cdot x^3$$
$$\left(\frac{\ 4\cdot \pi^2}{\gamma \cdot M}\right)\cdot \frac{{\left(1,5\cdot 10^{11}\right)}^3}{{\left(8,64\ \cdot 10^4\right)}^2}=1,81\cdot 10^6$$
Vegyük figyelembe, hogy a keringési idő napokban, ami $8,6\cdot 10^4\ \mathrm{s}$, és a távolság Csillagászati Egységben, ami a Nap‑Föld távolság $(1,5\cdot 10^{11}\ \mathrm{m})$ van megadva!
A gravitációs állandó: $\gamma =6,67\cdot 10^{-11}\ \mathrm{\ Nm^2}{\ kg^2}$
Az $x$ kitevőjét $1,5$‑tel közelítjük. Mivel a gravitációs állandó ismert, így az egyenletben csak a csillag $M$ tömege az ismeretlen.
$$M\approx 0,15\cdot 10^{30}\ \mathrm{kg}$$
A táblázatból:
$$T^2=\left(\frac{\ 4\cdot \pi^2}{\gamma \cdot M}\right)\cdot R^3$$
Bármelyik bolygó adatpárjából kinézni a keringési időt és a távolságot. Át lehet azokat váltani SI-re és beírni a fenti összefüggésbe:
$$\frac{\ T^2}{{\left(8,64\cdot 10^4\right)}^2}=\left(\frac{\ 4\cdot \pi^2}{\gamma \cdot M}\right)\cdot {\left(1,5\cdot 10^{11}\right)}^3\cdot R^3$$
$$M=0,27\cdot 10^{36}\cdot \frac{\ R^3}{\ T^3}$$
$$M=0,27\cdot 10^{36}\cdot 5,78\cdot 10^{-7}$$
$$M=1,56\cdot 10^{29}\ \mathrm{kg}$$
b) Hasonlítsa össze a csillag tömegét a Nap tömegével!
$M\approx 0,15\cdot 10^{30}\ \mathrm{kg}$, ami a Nap tömegének tizedénél is kisebb, kb. $8\%$‑a.
A legegyszerűbb módszer a keringési időt évbe átszámolni, így a Földre vonatkoztatott egységekkel számolni:
| $\ \ \ \displaystyle \frac{\ R^3}{\ T^2}\ \ \ $ | $\ \ \ \ \ \ \ \ $ | $R\mathrm{(CsE)}$ | $T\mathrm{(nap)}$ | $T\mathrm{(\small é\normalsize v)}$ |
| 0,0778 | 0,011 | 1,51 | 0,00414 | |
| 0,0768 | 0,015 | 2,42 | 0,00663 | |
| 0,0752 | 0,021 | 4,05 | 0,01110 | |
| 0,0786 | 0,028 | 6,1 | 0,01671 | |
| 0,0796 | 0,037 | 9,21 | 0,02523 | |
| 0,0796 | 0,045 | 12,35 | 0,03384 | |
| 0,0719 | 0,06 | 20 | 0,05479 |
Melyben az $\displaystyle \frac{\ R^3}{\ T^2}$ arány a Naptömeghez viszonyított értéket szolgáltatja. És ez ténylegesen alig $8\%$.
Ez azért van, mivel a CsE csillagászati egység a Földpálya nagysága, a keringési idő egysége pedig az $1\ \mathrm{\small é\normalsize v}$. A Naprendszer esetében az arány kb. $1$.
| $\mathrm{CsE}$ | $T$ | $\ \ \displaystyle \frac{\ R^3}{\ T^2}\ \ $ | |
| Merkúr | 0,387 | 0,24 | 1,01 |
| Vénusz | 0,723 | 0,62 | 0,98 |
| Föld | 1 | 1 | 1,00 |
| Mars | 1,524 | 1,88 | 1,00 |
| Jupiter | 5,203 | 11,86 | 1,00 |
| Szaturnusz | 9,537 | 29,46 | 1,00 |
| Uránusz | 19,191 | 84 | 1,00 |
| Neptunusz | 30,69 | 164,79 | 1,00 |
c) Milyen közelítő feltevéseket használt fel a becslés során?
Elhanyagolhatjuk a bolygók egymásra gyakorolt gravitációs hatását, a bolygók tömegét a csillag tömegéhez képest, közelíthetünk körpáyával, és $1,5$‑nek vehetjük a kitevőt.
c) Közelítő feltevések: csak a bolygók és a központi csillag kölcsönhatását vettük figyelembe, de a bolygók egymásra gyakorolt hatását nem. Pedig az is jelentős, hiszen csillagászati értelemben nagyon közel vannak egymáshoz. A csillag tömegéhez képest a bolygók tömegét elhanyagoltuk. Továbbá körpályával közelítettünk. És a kitevőt $1,5$‑nek vettük.