Egy $m=75\ \mathrm{kg}$ tömegű ember egy szakadék felé fut vízszintes terepen $6\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}$ sebességgel. Pont a szakadék szélén egy faágról hosszú lián lóg le függőlegesen, amit megragad és belekapaszkodik. A lián kilendül az emberrel, és amikor az ember a hintamozgás során átlendülve eléri a holtpontot, elengedi a liánt. Így épp a szakadék túlsó partján pottyan le. A lendülés során az ember tömegközéppontja $10\ \mathrm{m}$ sugarú körön mozog.
$\bigg($A lián súlytalannak tekinthető, $g=9,8\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{\ s^2}}.\bigg)$
a) Milyen széles a szakadék?
$D=5,78\ \mathrm{m}$
Adatok:
$L=10\ \mathrm{m}$
$v=6\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}$
$m=75\ \mathrm{kg}$
$g=9,8\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{\ s^2}}$
a) A mechanikai energia‑megmaradás tételének alkalmazása a kilendülés mértékének meghatározására:
6 pont
(bontható)
A hintamozgás (körmozgás) során érvényes a mechanikai energia megmaradása, azaz:
$$\frac{1}{2}m\cdot v^2=m\cdot g\cdot \mathit{\Delta} h$$
(2 pont)
A kötél függőlegessel bezárt szögét $\alpha $‑val jelölve, a maximális kitéréséhez tartozó szög:
$$\mathit{\Delta} h=L(1−\cos{\alpha })$$
(1 pont)
amivel:
$$g\cdot L(1−\cos{\alpha })=\frac{\ v^2}{2}$$
$$\cos{\alpha }=1-\frac{v^2}{2\cdot g\cdot L}$$
(rendezés, 2 pont)
tehát:
$$\alpha =35,3^\circ$$
(1 pont)
A szakadék szélességének meghatározása:
2 pont
(bontható)
$$D=L\cdot \sin{\alpha }$$
$$D=5,78\ \mathrm{m}$$
(képlet + számítás, 1 + 1 pont)
b) Mekkora erővel kell az embernek a kötélbe belekapaszkodnia (azaz mekkora függőleges erővel kell tartania magát a kötélen) a lendülés első pillanatában?
$F_{\mathrm{k}}\approx 1000\ \mathrm{N}$
b) A dinamikai helyzet értelmezése és a szükséges húzóerő kiszámítása:
5 pont
(bontható)
A lendülés első pillanatában az ember $v$ kerületi sebességgel körmozgást végez, amit a rá ható erők eredője biztosít (2 pont).
(Ez a pont akkor jár, ha akár a későbbi számításokból vagy egy, az erőket ábrázoló rajzból nyilvánvaló, hogy a vizsgázó a dinamikai helyzetet helyesen értelmezi.)
Tehát:
$$F_{\mathrm{k}}=m\cdot g+\frac{\ m\cdot v^2}{L}\approx 1000\ \mathrm{N}$$
(képlet + számítás, 2 + 1 pont)
Összesen: 13 pont