Egy ember egy nagy síktükörben nézi a saját tükörképét, miközben \(0,5\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{s}}\) állandó sebességgel sétál a tükör felé.
Egy másik ember egy gépkocsi vezetőülésén ül. A kocsi az út mellett áll a menetirány szerinti jobb oldalon az úttal párhuzamosan, az ember pedig a bal oldali visszapillantó tükörben figyeli, amint hátulról az úton egy busz közeleg. A busz \(72\ \mathrm{\displaystyle\frac{km}{h}}\) nagyságú állandó sebességgel halad az úton. A visszapillantó tükör egy \(f=-2\ \mathrm{m}\) fókusztávolságú, enyhén domború tükör.
a) Mekkora sebességgel közeledik az ember a tükörképéhez? Válaszát indokolja!
\(v=1\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{s}}\)
Adatok:
\(v_1=0,5\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{s}}\)
\(t_1=30\ \mathrm{m}\)
\(t_2=20\ \mathrm{m}\)
\(t_3=10\ \mathrm{m}\)
\(v_2=72\ \mathrm{\displaystyle\frac{km}{h}}\)
\(f=−2\ \mathrm{m}\)
a) Az ember és a tükörképe relatív sebességének meghatározása:
3 pont
(bontható)
Mivel síktükör esetén
\[k=t\]
(1 pont)
ugyanez igaz az időegység alatti megváltozásra is, tehát az ember és tükörképének relatív sebessége:
\[v=\frac{\mathit{\Delta} k+\mathit{\Delta} t}{\mathit{\Delta} T}\]
\[v=\frac{2\cdot \mathit{\Delta} t}{\mathit{\Delta} T}\]
\[v=2\cdot v_1\]
\[v=1\ \mathrm{\displaystyle\frac{m}{s}}\]
(képlet + számítás, 1 + 1 pont)
b) Mekkora a busz képének képtávolsága, amikor $30\ \mathrm{m}$, $20\ \mathrm{m}$, illetve $10\ \mathrm{m}$ távolságban van az álló kocsi visszapillantó tükrétől? Állandó-e a busz képének sebessége? Válaszát indokolja!
\(k_1=-1,875\ \mathrm{m}\)
\(k_2=-1,818\ \mathrm{m}\)
\(k_3=-1,667\ \mathrm{m}\)
b) A keresett képtávolságok meghatározása:
4 pont
(bontható)
\[\frac{1}{k}+\frac{1}{t}=\frac{1}{f}\]
\[k=\frac{f\cdot t}{t-f}\]
(képlet + rendezés, 1 + 1 pont)
amiből
\[k_1=-1,875\ \mathrm{m}\]
\[k_2=-1,818\ \mathrm{m}\]
\[k_3=-1,667\ \mathrm{m}\]
(3 helyesen kiszámolt érték 2 pont, 2 helyesen kiszámolt érték 1 pont.)
A sebességre vonatkozó kérdés megválaszolása és indoklása:
3 pont
(bontható)
Mivel
\[t_2-t_1=-10\ \mathrm{m}\]
és
\[k_2-k_1=0,057\ \mathrm{m}\]
illetve
\[t_3-t_2=-10\ \mathrm{m}\]
és
\[k_3-k_2=0,152\ \mathrm{m}\]
ezért:
A busz mozgása egyenletes, sebessége állandó, ugyanannyi idő alatt közelíti meg a tükröt 30 méterről 20 méterre, mint 20 méterről 10 méterre (1 pont).
A látszólagos kép távolsága a tükörtől e két útszakasz megtétele során eltérő mértékben változik (1 pont).
Tehát a kép sebessége nem állandó (1 pont).
Összesen: 10 pont