Az elektromos autók akkumulátorait a nagy tömegük miatt az autók alsó részébe szokás elhelyezni, hogy az autó tömegközéppontja (súlypontja) minél alacsonyabban legyen, ezáltal az autó kevésbé legyen borulékony. 2016-tól a Tesla Model S P100d típusokba kérhető \(100\ \mathrm{kWh}\) kapacuitású akku is, mely \(625\ \mathrm{kg}\) tömegű és \(0,4\ \mathrm{m^3}\) térfogatú. Az amerikai szabványok szerint egy töltéssel a megtehető út \(315\ \mathrm{miles}\), és \(1\ \mathrm{mile}=1,609\ \mathrm{km}\). Az akku teljesen lemerült állapotból egy \(3,7\ \mathrm{kW}\)-os "otthoni gyorstöltővel" \(27\ \mathrm{h}\) alatt tölthető fel teljesen.
a) Mekkora az akku ún. "tömegegységre eső fajlagos energiatároló-képessége"? Magyarán egységnyi tömegű (azaz \(1\ \mathrm{kg}\)-os) akksi mennyi energiát képes eltárolni? Ezt \(\displaystyle \mathrm{\frac{Wh}{kg}}\) egységben szokás megadni, és a hétköznapi nyelvhasználat pongyolán "energiasűrűségnek" emlegeti.
\(\displaystyle 160\ \mathrm{\frac{Wh}{kg}}\)
Tudjuk, hogy az akku \(100\ \mathrm{kWh}\) energiát tárol,és \(625\ \mathrm{kg}\) tömegű. Ebből az egységnyi tömegre jutó eltárolt energiát osztással számolhatjuk, mivel az osztás lényege mindig az, hogy megmutatja "az egységnyi alsóra jutó felsőt":
\[\varepsilon=\frac{E}{m}\]
\[\varepsilon =\frac{100\ \mathrm{kWh}}{625\ \mathrm{kg}}\]
\[\varepsilon =0,16\ \mathrm{\frac{kWh}{kg}}=160\ \mathrm{\frac{Wh}{kg}}\]
A kapott érték amiatt kevesebb, mint amit a Li-ion aksikról szokás mondani, hogy \(\displaystyle \approx 250\ \mathrm{\frac{Wh}{kg}}\), mert ez utóbbi adat magára a "csupasz" galváncellára vonatkozik. Ezzel szemben egy autóba épített akkumulátortelep tömegét jelentősen növelik a kábelek, a kis cellák tokozása (a Tesla Model S \(100\ \mathrm{kWh}\)-s aksijában például 8256 darab kis cella van összeépítve), az akkumulátor megfelelő hőmérsékletét biztosító fűtő-hűtő rendszer, valamint az egészet dobozba záró lemezek.
b) Mekkora ugyanez a paraméter szabályos SI-egységben?
\(\displaystyle 576\ 000\ \mathrm{\frac{J}{kg}}\)
A \(\displaystyle \mathrm{\frac{Wh}{kg}}\) mértékegységben a \(\mathrm{kg}\) az SI-egység, de a \(\mathrm{Wh}\) az nem, úgyhogy ezt kell átváltanunk az energia SI-egységébe, azaz \(\mathrm{joule}\)-ba:
\[1\ \mathrm{Wh}=1\ \mathrm{W}\cdot 1\ \mathrm{h}\]
\[1\ \mathrm{Wh}=1\ \mathrm{W}\cdot 3600\ \mathrm{s}\]
\[1\ \mathrm{Wh}=3600\ \mathrm{Ws}\]
\[1\ \mathrm{Wh}=3600\ \mathrm{J}\]
Ugyanis a \(\mathrm{Ws}\) egységnek már mindkét összetevője SI-egység, így ő is az, ezért \(1\ \mathrm{Ws}=1\ \mathrm{J}\).
Most már beírhatjuk ezt az eredeti adatba:
\[\varepsilon =160\ \mathrm{\frac{Wh}{kg}}\]
\[\varepsilon =160\ \mathrm{\frac{3600\ J}{kg}}\]
\[\varepsilon =576\ 000\ \mathrm{\frac{J}{kg}}\]
c) Mekkor a aksi térfogategységre eső fajlagos energiatároló-képessége \(\displaystyle \mathrm{\frac{Wh}{liter}}\) egységben?
\(\displaystyle 250\ \mathrm{\frac{Wh}{liter}}\)
Tudjuk, hogy az aksi által eltárolt energia \(100\ \mathrm{kWh}\), és hogy az aksi térfogata:
\[V=0,4\ \mathrm{m^3}=400\ \mathrm{liter}\]
Ebből az egységnyi térfogatra jutó eltárolt energia egy osztásssal számítható, mert az osztás azt adja eredményül, hogy mennyi "az egységnyi alsóra jutó felső". Azért, hogy jelezzük, hogy most nem tömegre, hanem térfogatra vonatkoztatott fajlagos energiát számolunk, rakhatunk egy \(V\) alsó indexet:
\[\varepsilon_V=\frac{E}{V}\]
\[\varepsilon_V=\frac{100\ \mathrm{kWh}}{400\ \mathrm{liter}}\]
\[\varepsilon_V=0,25\ \mathrm{\frac{kWh}{liter}}\]
\[\varepsilon_V=250\ \mathrm{\frac{Wh}{liter}}\]
d) Mekkora ugyanez a paraméter szabályos SI-egységben?
\(\displaystyle 900\ 000\ 000\ \mathrm{\frac{J}{m^3}}=9\cdot 10^8\ \mathrm{\frac{J}{m^3}}=900\ \mathrm{\frac{MJ}{m^3}}=0,9\ \mathrm{\frac{GJ}{m^3}}\)
Most nemcsak a \(\mathrm{Wh}\) egységet kell átváltanunk SI-egységbe (\(\mathrm{J}\)-ba) az előbb levezetett módon:
\[1\ \mathrm{Wh}=3600\ \mathrm{J}\]
hanem a litert is. Azt tudjuk, hogy \(1\ \mathrm{m^3}=1000\ \mathrm{liter}\), ezért a liter helyére azt írhatjuk, hogy
\[1\ \mathrm{liter}=\frac{1}{1000}\ \mathrm{m^3}=0,001\ \mathrm{m^3}\]
Ezek segítségével az átváltás:
\[\varepsilon_V=250\ \mathrm{\frac{Wh}{liter}}\]
\[\varepsilon_V=250\ \mathrm{\frac{3600\ J}{0,001\ m^3}}\]
\[\varepsilon_V=900\ 000\ 000\ \mathrm{\frac{J}{m^3}}=900\ \mathrm{\frac{MJ}{m^3}}\]
e) Ha a teljesen feltöltött aksi folyamatosan \(40\ \mathrm{kW}\) teljesítményt ad le, akkor mennyi időn keresztül tudja hajtani az autót az aksi teljes lemerüléséig?
\(2,5\ \mathrm{h}\)
A \(P\) teljesítmény, a \(\Delta E\) energiaváltozás és a \(\Delta t\) eltelt idő kapcsolata:
\[P=\frac{\Delta E}{\Delta t}\]
Ebbe beírva az adatainkat:
\[\mathrm{40\ kW=\frac{100\ kWh}{\Delta t}}\]
ebből az eltelt időt kirendezve:
\[\mathrm{\Delta t=\frac{100\ kWh}{40\ kW}}\]
\[\Delta t=2,5\ \mathrm{h}\]