Léteznek ún. átfolyós vízmelegítő csaptelepek, amelyek belsejében egy elektromos fűtőszál a víz átáramlása alatt folyamatosan melegíti az átfolyó vizet, így nem tudnak kifogyni a meleg vízből, ahogy a tárolós vízmelegítők (például a villanybojler). Olyan helyen használják, ahol csak ritkábban és nem túl sok meleg vízre van szükség, ezért túlzás lenne egy nagy villanybojlert beépíteni, vagy helyhiány miatt azt nem lehetséges.
a) A képen látható példány beépített fűtőszála \(3000\ \mathrm{W}\) teljesítményű. Egy szokványos csapot ha rendesen megnyitunk, akkor egy másodperc alatt egy deci vizet ad. Hány fokkal tudja ilyenkor felmelegíteni ez az átfolyós vízmelegítő a bejövő (hideg) vizet? A víz fajhője \(\displaystyle c_{\mathrm{v}}=4200\ \mathrm{\frac{J}{kg\cdot {}^\circ C}}\).
$\Delta T=7,14\ \mathrm{{}^\circ C}$
A vízmelegítő teljesítménye $P=3000\ \mathrm{W}$, ami általában
$$P=\frac{\Delta E}{\Delta t}$$
de most, hogy hőt fejleszt, így
$$P=\frac{Q}{\Delta t}$$
Ez azt jelenti, hogy másodpercenként $Q=3000\ \mathrm{J}$ energiát ad le hő formájában. Ezt nagyrészt a víz kapja (kisebbrészt a csaptelep is felmelegszik, de ez hanyagoljuk el, vegyük úgy, hogy a leadott hő teljesen a vizet melegíti).
A víz felmelegítéséhez szükséges hőt így számolhatjuk:
$$Q_{\mathrm{v}}=c_{\mathrm{v}} \cdot m_{\mathrm{v}} \cdot \Delta T$$
Vegyünk egy 1 másodperces időtartamot! Ezalatt a fűtőszál $Q=3000\ \mathrm{J}$ energiát ad a víznek, így:
$$3000\ \mathrm{J}=c_{\mathrm{v}} \cdot m_{\mathrm{v}} \cdot \Delta T$$
Egy másodperc alatt egy deci víz folyik át, ami $0,1\ \mathrm{kg}$ tömegű:
$$3000\ \mathrm{J}=c_{\mathrm{v}} \cdot 0,1\ \mathrm{kg} \cdot \Delta T$$
Végül a víz fajhőjét is beírva:
$$3000\ \mathrm{J}=4200\ \mathrm{\frac{J}{kg\cdot {}^\circ C}} \cdot 0,1\ \mathrm{kg} \cdot \Delta T$$
Ebből:
$$\Delta T=7,14\ \mathrm{{}^\circ C}$$
Hát, az nem sok. Tehát ezek inkább vékony sugárban csordogáló víz melegítésére, vagy rendesen folyó víz langyosítására alkalmasak. A leírásban olyanok szoktak szerepelni, hogy $25\ \mathrm{{}^\circ C}$-t melegít, ha 2 liter/perc a vízhozam. Képzeljük el, az mennyire lassú, ha egy 2 literes ásványvizes palackot egy percig tart megtölteni...
b) Az alábbi képen látható házilag tákolt változat vajon hány Celsius-fokot tudna melegíteni az előbbi bejövő vízen? A mai gyertyák anyaga paraffin, aminek sűrűsége \(\displaystyle \varrho_{\mathrm{p}}=900\ \mathrm{\frac{kg}{m^3}}\), égéshője \(\displaystyle L_{\mathrm{é}}=46\ \mathrm{\frac{MJ}{kg}}\), a \(20\ \mathrm{cm}\) magas, \(1\ \mathrm{cm}\) átmérőjű gyertyáról azt is tudjuk, hogy az égési ideje \(3\ \mathrm{óra}\).
$\Delta T=0,14\ \mathrm{{}^\circ C}$
Mivel a gyertya 3 órán keresztül ég, legyen ennyi az időtartamunk:
$\Delta t=3\ \mathrm{h}=3\cdot 3600\ \mathrm{s}=10\ 800\ \mathrm{s}$
Mennyi hőt ad le az égő gyertya? Ezt az égéshőjéből és a tömegéből számíthatjuk:
$$Q=L_{\mathrm{é}} \cdot m_{\mathrm{gy}}$$
A gyertya tömegét a sűrűségéből és a térfogatából számolhatjuk:
$$m_{\mathrm{gy}}=\varrho_{\mathrm{gy}} \cdot V_{\mathrm{gy}}$$
A gyertya térfogatát pedig hengerként az $A$ keresztmetszetből és a $h$ magasságból:
$$V_{\mathrm{gy}}=A\cdot h$$
ahol a keresztmetszetet a kör területéből:
$$A=r^2 \cdot \pi$$
A gyertya $d=1\ \mathrm{cm}=0,01\ \mathrm{m}$ átmérőjű, de nekünk az $r$ sugár kell, ami ennek a fele:
$$r=0,005\ \mathrm{m}$$
amiből az alapterület SI-egységekkel beírva:
$$A=r^2 \cdot \pi$$
$$A=0,005^2 \cdot \pi$$
$$A=7,85 \cdot 10^{-5}\ \mathrm{m^2}$$
Így a gyertya térfogata a $h=20\ \mathrm{cm}=0,2\ \mathrm{m}$ magasság figyelembe vételével:
$$V_{\mathrm{gy}}=A\cdot h$$
$$V_{\mathrm{gy}}=7,85 \cdot 10^{-5} \ \mathrm{m^2} \cdot 0,2\ \mathrm{m}$$
$$V_{\mathrm{gy}}=1,57\cdot 10^{-5}\ \mathrm{m^3}$$
Ebből a gyertya tömege:
$$m_{\mathrm{gy}}=\varrho_{\mathrm{gy}} \cdot V_{\mathrm{gy}}$$
$$m_{\mathrm{gy}}=900\ \mathrm{\frac{kg}{m^3}} \cdot 1,57\cdot 10^{-5}\ \mathrm{m^3}$$
$$m_{\mathrm{gy}}=0,01414\ \mathrm{kg}$$
amiből az égésével felszabaduló hő:
$$Q_{\mathrm{gy}}=L_{\mathrm{é}} \cdot m_{\mathrm{gy}}$$
$$Q_{\mathrm{gy}}=46\cdot 10^6\ \mathrm{\frac{J}{kg}} \cdot 0,01414\ \mathrm{kg}$$
$$Q_{\mathrm{gy}}=6,5\cdot 10^5\ \mathrm{J}$$
Mennyi víz folyik át ezalatt az három óra, azaz 10800 másodperc alatt, ha minden másodpercben 0,1 kilogramm víz folyik?
$$m_{\mathrm{v}}=10800\cdot 0,1\ \mathrm{kg}$$
$$m_{\mathrm{v}}=1080\ \mathrm{kg}$$
Most már felírhatjuk, hogy a gyertya által leadott hő egyenlő a víz melegítésére fordított hővel:
$$Q_{\mathrm{gy}}=c_{\mathrm{v}} \cdot m_{\mathrm{v}} \cdot \Delta T$$
$$6,5\cdot 10^5\ \mathrm{J}=4200\ \mathrm{\frac{J}{kg\cdot {}^\circ C}} \cdot 1080\ \mathrm{kg} \cdot \Delta T$$
amiből
$$\Delta T=0,14\ \mathrm{{}^\circ C}$$
Hát, az igazából semmi, észre sem vehető.