Az ábrán látható $d=10\ \mathrm{cm}$ lemeztávolságú kondenzátor egyik lemezének $\textbf O$ közepében egy protonforrás található, ahonnan nagyon kis kezdeti sebességű protonok léphetnek ki. A másik lemez közepén egy $\textbf L$ lyuk helyezkedik el. A kondenzátortól jobbra $B=0,6\ \mathrm{T}$ indukciójú homogén mágneses mező található az ábra síkjára merőlegesen. A kondenzátor fegyverzetei között a protonokra $F=5\cdot 10^{-15}\ \mathrm{N}$ elektromos erő hat. (A teljes összeállítás vákuumban van, a nehézségi erő hatása a feladat során elhanyagolható.)
(A proton töltése $q=1,6\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}$, tömege $m_{\mathrm{p}}=1,67\cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}$.)
a) Határozza meg a kondenzátor fegyverzetei között mérhető feszültséget!
$U=3125\ \mathrm{V}$
Adatok:
$q=1,6\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}$
$m_{\mathrm{p}}=1,67\cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}$
$d=10\ \mathrm{cm}$
$B=0,6\ \mathrm{T}$
$F=5\cdot 10^{-15}\ \mathrm{N}$
a) A lemezek között mérhető feszültség meghatározása:
3 pont
(bontható)
Mivel
$$E=\frac{F}{q}$$
(1 pont)
ezért
$$U=E\cdot d$$
$$U=\frac{F}{q}\cdot d$$
$$U=\frac{5\cdot 10^{-15}}{1,6\cdot 10^{-19}}\cdot 0,1$$
$$U=3125\ \mathrm{V}$$
(képlet + számítás, 1 + 1 pont)
b) Mekkora sebességgel hagyják el a protonok a jobb oldali fegyverzetet a lyukon keresztül?
$v=7,74\cdot 10^5\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{s}}$
b) A munkatétel alkalmazása és a protonok sebességének meghatározása:
4 pont
(bontható)
Mivel a kilépő protonok mozgási energiája az elektromos tér rajtuk végzett munkájával egyenlő:
$$U\cdot q=\frac{1}{2}m_{\mathrm{p}}\cdot v^2$$
(2 pont)
ezért
$$v=\sqrt{\frac{2U\cdot q}{m_{\mathrm{p}}}}$$
$$v=\sqrt{\frac{2\cdot 3125\cdot 1,6\cdot 10^{-19}}{1,67\cdot 10^{-27}}}$$
$$v=7,74\cdot 10^5\ \mathrm{\frac{m}{s}}$$
(rendezés + számítás, 1 + 1 pont)
c) Mennyi ideig tartózkodik egy proton a fegyverzetek között?
$t=2,58\cdot 10^{-7}\ \mathrm{s}$
c) A protonok felgyorsulásához szükséges idő meghatározása:
3 pont
(bontható)
Mivel a protonok a lemezek között egyenletesen gyorsulnak
$$d=\frac{1}{2}\frac{F}{\ m_{\mathrm{p}}}t^2$$
(1 pont)
tehát
$$t=\sqrt{\frac{2d\cdot m_{\mathrm{p}}}{F}}$$
$$t=\sqrt{\frac{2\cdot 0,1\cdot 1,67\cdot 10^{-27}}{5\cdot 10^{-15}}}$$
$$t=2,58\cdot 10^{-7}\ \mathrm{s}$$
(rendezés + számítás, 1 + 1 pont)
d) Mekkora sugarú körpályán haladnak a protonok a homogén mágneses mezőben?
$R=1,35\ \mathrm{cm}$
d) A protonok pályasugarának meghatározása:
3 pont
(bontható)
Homogén mágneses mezőben a pályasugár (Larmor‑sugár):
$$R=\frac{m_{\mathrm{p}}\cdot v}{q\cdot B}$$
$$R=\frac{1,67\cdot 10^{-27}\cdot 7,74\cdot 10^5}{1,6\cdot 10^{-19}\cdot 0,6}$$
$$R=1,35\ \mathrm{cm}$$
(képlet + számítás, 2 + 1 pont)
Összesen: 13 pont