Egy elhanyagolható belső ellenállású telepre $R$ ellenállású fogyasztót kapcsolunk, ekkor a telep teljesítménye $P$. Mekkora lesz a telep által leadott összes teljesítmény, ha 4 darab, sorba kapcsolt $R$ ellenállású fogyasztót kötünk a telepre?
A) A teljesítmény nem változik.
B) A teljesítmény négyszeresére nő.
C) A teljesítmény kétszeresére nő.
D) A teljesítmény negyedére csökken.
A) A teljesítmény nem változik.
B) A teljesítmény négyszeresére nő.
C) A teljesítmény kétszeresére nő.
D) A teljesítmény negyedére csökken.
1. megoldás
Tekintsük a 4 darab sorba kötött fogyasztót egyetlen fogyasztónak, melyet egy eredő ellenállással rendelkező alkatrészként kötünk a feszültségforrásra! Soros kapcsolásnál az eredő ellenállások összeadódnak, így a 4 darab \(R\) ellenállású fogyasztó eredő ellenálása \(R_{\mathrm{e}}=4R\). A Joule-hő teljesítménye többféleképpen számítható:
\[P=U\cdot I=I^2\cdot R=\frac{\ U^2}{R}\]
Mivel a feszültságforrás \(U\) feszültségéről és az eredő ellenállásról van információnk, ezért az utolsó változatot érdemes használnunk:
\[P=\frac{\ U^2}{R}\]
Az eredeti teljesítmény:
\[P_0=\frac{\ U^2}{R}\]
Mivel a kezdeti \(R\) ellenálláshoz képest végül már \(4R\) az eredő ellenállásunk, így a második esetben a nevező az eredeti 4-szeresre növekszik:
\[P_1=\frac{\ U^2}{4R}\]
A végső \(P_1\) teljesítmény tehát a kezdeti érték negyedére csökken.
2. megoldás
Tekintsük külön-külön a 4 darab sorba kötött ellenállást! Soros kapcsolásnál az egészre kapcsolt feszültség szétoszlik a tagok között. Mivel azonosak a 4 darab ellenállás, emiatt a forrás \(U\) feszültségének negyedrésze jut mindegyik ellenállásra. Negyedakkora feszültség
\[P=\frac{\ U^2}{R}\]
alapján \(4^2=16\)-szor kisebb hőteljesítményt fog fejleszteni az ellenálláson, mint kezdetben. Viszont ilyenből 4 darabunk van, így az összteljesítményük
\[P_1=4\cdot \frac{1}{16}P_0\]
\[P_1=\frac{4}{16}P_0\]
\[P_1=\frac{1}{4}P_0\]
vagyis szintén azt kaptuk, hogy az eredeti teljesítmény negyede lesz az új.