a)  Mekkora legyen a henger és a tálca közötti tapadási súrlódási együttható értéke, hogy a henger tisztán gördüljön?

\(\displaystyle \mu_{\mathrm{t}}\ge \frac{a}{3g}\)

A tiszta (nem csúszva) gördülés azt jelenti, hogy a henger legalsó pontja, mely a tálcával érintkezik, a tálcához képest mindig nyugalomban van (még ha az folyamatosan változik is, hogy a legalsó pont a hengernek melyik pontja). Ez úgy lehetséges, ha a henger legalsó pontjának és a tálcának minden pillanatban azonos a sebessége. Mivel keddetben mindkettőnek nulla a sebessége, a sebességeik folyamatos azonossága csak úgy lehetséges, ha állandóan azonos gyorsulással mozognak. Vagyis a henger legalsó pontjának gyorsulása szintén mindig \(a\) kell legyen. A henger alsó pontjának vizsgálatához először is tisztázzuk az erőket, abból is elsősorban a vízszintes irányúakat, hiszen a henger mozgása a vízszintes síkban fog zajlani:

A hengerre tehát egyetlen vízszintes erő hat, méghozzá a tálca által kifejtett tapadási súrlódási erő. Mit okoz ez a henger számára? Egyrészt a vízszintes gyorsulását határozza meg:

\[F_{\mathrm{t}}=m\cdot a_{\mathrm{tr}}\]

ahol az \(\mathrm{tr}\) alsó index azt jelzi, hogy transzlációs (haladó) mozgási gyorsulás. A henger minden egyes pontjának lesz ilyen gyorsulása, de míg a tömegközéppontnak (TKP)  pontosan ennyi lesz a gyosulása (hiszen neki csak haladó gyorsulása van), addig a henger többi pontjának a henger változó forgó mozgása miatt emellett még lesz érintő irányú (kerületi, tangenciális) gyorsulása is. Az érintő gyorsulás érdekében írjuk fel a merev test forgó mozgására a dinamikai egyenletet! A tapadási erő erőkarja a henger sugara nagyságú:

\[F_{\mathrm{t}}\cdot r=\theta\cdot \beta\]

Alkalmazva a tömör korong teta képletét:

\[F_{\mathrm{t}}\cdot r=\frac{1}{2}mr^2\cdot \beta\]

Egyszerűsítve:

\[F_{\mathrm{t}}=\frac{1}{2}mr\cdot \beta\]

A henger alsó pontjának gyorsulása:

\[a_{\mathrm{A}}=a_{\mathrm{tr}}+r\beta\]

Tehát ennek kell a tálca \(a\) gyorsulásával azonosnak lennie:

\[a_{\mathrm{tr}}+r\beta=a\]

A haladó mozgás egyenletéből:

\[a_{\mathrm{tr}}=\frac{F_{\mathrm{t}}}{m}\]

A forgó mozgás egyenletéből a szöggyorsulás:

\[\beta=\frac{2F_{\mathrm{t}}}{mr}\]

Ezeket beírva a gyorsulásos egyenletébe:

\[a=a_{\mathrm{tr}}+r\beta\]

\[a=\frac{F_{\mathrm{t}}}{m}+r\frac{2F_{\mathrm{t}}}{mr}\]

\[a=\frac{F_{\mathrm{t}}}{m}+\frac{2F_{\mathrm{t}}}{m}\]

A tapadási erő legfeljebb a nyomóerő és a tapadási együttható szorzata lehet:

\[F_{\mathrm{t}}\le \mu_{\mathrm{t}}F_{\mathrm{ny}}\]

A felületek közötti nyomóerő pedig \(mg\) nagyságú, így:

\[F_{\mathrm{t}}\le \mu_{\mathrm{t}}mg\]

Írjuk be az imént kapott gyorsulásos egyenletbe a tapadási erő helyére a most kapott, nála nagyobb \(\mu_{\mathrm{t}}mg\) kifejezést! Ettől az egyenlet jobb oldala nagyobb lesz, így:

\[a\le \frac{\mu_{\mathrm{t}}mg}{m}+\frac{2\mu_{\mathrm{t}}mg}{m}\]

\[a\le \mu_{\mathrm{t}}g+2\mu_{\mathrm{t}}g\]

\[a\le 3\mu_{\mathrm{t}}g\]

\[\mu_{\mathrm{t}}\ge \frac{a}{3g}\]

b)  Ha a tapadási együttható elég nagy, hogy a henger tisztán gördüljön, akkor mekkora lesz a henger TKP-jának gyorsulása az alatta meginduló tálca \(a\) gyorsulásához képest?

\(\displaystyle a_{\mathrm{tr}}=\frac{a}{3}\)

A TKP gyorsulása:az

\[a=a_{\mathrm{tr}}+r\beta\]

egyenletből:

\[a_{\mathrm{tr}}=a-r\beta\]

Tehát a TKP gyorsulásának meghatározásához valahogy ki kellene fejezni az \(r\beta\) kifejezést.

A haladó mozgás vizsgálatából az előbb az alábbi egyenletre jutottunk:

\[F_{\mathrm{t}}=m\cdot a_{\mathrm{tr}}\]

A forgó mozgásra felírt dinamikai egyenletből pedig ez adódott:

\[F_{\mathrm{t}}=\frac{1}{2}mr\cdot \beta\]

Mivel a bal oladalak azonosak, ezért a jobb oldalak is:

\[m\cdot a_{\mathrm{tr}}=\frac{1}{2}mr\cdot \beta\]

A tömeggel egyszerűsítve:

\[a_{\mathrm{tr}}=\frac{1}{2}r\cdot \beta\]

Ebből a keresett \(r\beta\) kifejezés:

\[r\beta=2a_{\mathrm{tr}}\]

Ezt beírva a fenti gyorsulásos egyenletbe:

\[a_{\mathrm{tr}}=a-r\beta\]

\[a_{\mathrm{tr}}=a-2a_{\mathrm{tr}}\]

\[3a_{\mathrm{tr}}=a\]

\[a_{\mathrm{tr}}=\frac{a}{3}\]

Tehát a henger TKP-ja az alatta "meginduló" tálca gyorsulásának harmadával fog előrefelé gyorsulni.