Két test közötti tapadási súrlódási együttható kimérhető úgy, hogy az egyik testet a másikra tesszük, majd az alsónak a vízszintessel bezárt hajlásszögét \(0^\circ\)-ról kezdve lassan növeljük, és megfigyeljük, hogy mekkora hajlásszögnél kezd el csúszni.
a) Egy ilyen mérésben azt tapasztaltuk, hogy a test akkor kezdett el csúszni, amikor a lejtő hajlásszöge \(45^\circ\) lett. Mekkora a lejtő deszkája és a rajta végül lecsúszó kis test közötti \(\mu_{\mathrm{t}}\) tapadási együttható?
\(\mu_{\mathrm{t}}=1\)
Az, hogy épp mgcsúszik, azt jelenti, hogy a tapadási erő épp eljutott a maximális értékére, aminél már nem tud nagyobb lenni. Készítsünk ábrát, és rajzoljuk be az erőket, kezdjük az \(mg\) nehézségi erővel:
Mivel a radír a lejtőn van rajta, ezért érdemesebb a koordinátarendszerünket a lejtőre helyezni, és a tengelyeit lejtő irányába illetve arra merőlegesen irányítani, és mindent ilyen irányú komponensekre bontani. Tegyük meg ezt az \(mg\) nehézségi erővel:
Az \(mg\), az \(mg_{\bot}\) és az \(mg_{\parallel}\) egy olyan nevezetes derékszögű háromszöget alkotnak, mint amilyen az átlójánál kettévágott négyzet. Ennek oldalarányait a Pithagorasz-tétellel ki lehet számítani, az eredmény:
Az ábra alapján az \(mg\) komponensei:
\[mg_{\bot}=\frac{mg}{\sqrt{2}}\]
\[mg_{\parallel}=\frac{mg}{\sqrt{2}}\]
Az \(mg_{\parallel}\) fogja próbálni lejtőirányban lefelé megindítani a radírtt, míg az \(mg_{\bot}\) "rányomja" a radírt a csúszda lemezére. Mivel a radír nyugalomban van, ezért a lejtőre merőlegesen nincs gyorsulása, így a rá ható lejtőre merőleges erők ki kell oltsák egymást. Vagyis hat rá még egy lejtőre merőleges erő, méghozzá a lejtő által kifejtett \(K\) kényszererő:
Ez a kényszererő amiatt fontos nekünk, mert ettől függ a tapadási súrlódási erő. A kényszererő nagysága:
\[K=mg_{\bot}\]
\[K=\frac{mg}{\sqrt{2}}\]
Már csak egy erőnk hiányzik az ábrából, a tapadási súrlódási erő:
A tapadási súrlódási erő tehát:
\[F_{\mathrm{t}}=\mu_{\mathrm{t}}\cdot K\]
\[F_{\mathrm{t}}=\mu_{\mathrm{t}}\cdot mg_{\bot}\]
\[F_{\mathrm{t}}=\mu_{\mathrm{t}}\cdot \frac{mg}{\sqrt{2}}\]
Most már felírhatjuk tapadó, de az épp megcsúszó radírra az erőegyensúlyt lejtőirányra:
\[\Sigma F_{\parallel}=0\]
Ha lefelé vesszük a pozitív irányt, akkor a lejtőirányú erőket így írhatjuk be:
\[mg_{\parallel}-F_{\mathrm{t}}=0\]
Írjuk be, amiket eddig megkaptunk az erőkről:
\[\frac{mg}{\sqrt{2}}-\mu_{\mathrm{t}}\cdot \frac{mg}{\sqrt{2}}=0\]
A tömeg kiesik:
\[\frac{g}{\sqrt{2}}-\mu_{\mathrm{t}}\cdot \frac{g}{\sqrt{2}}=0\]
Írjuk be az adatainkat, SI-egységben, így a mértékegységek elhagyhatók:
\[\frac{10}{\sqrt{2}}-\mu_{\mathrm{t}}\cdot \frac{10}{\sqrt{2}}=0\]
\[7,07-\mu_{\mathrm{t}}\cdot 7,07=0\]
\[\mu_{\mathrm{t}}=1\]