a)  Mekkora volt a megtett útja?

\(s=5,66\ \mathrm{m}\)

Tudjuk a szintkülönbséget, és hogy a lejtő hajlásszöge \(45^\circ\). Ezzel a lejtő egy olyan nevezetes derékszögű háromszöget alkot, mint egy, az átlójával félbevágott négyzet. Ennek oldalarányait a Pithagorasz-tétellel ki tudjuk számítani, az eredmény:

Most a szintkülönbségünk, azaz a magasságunk \(4\ \mathrm{m}\), és a lejtő hosszát keressük. A hasonlóság alapján a lejtő hossza \(\sqrt{2}\)-ször nagyobb a magasságnál, tehát a megtett út:

\[s=4\sqrt{2}\ \mathrm{m}\]

\[s=5,66\ \mathrm{m}\]

b)  Mekkora a csúszási súrlódási együttható a lejtő és a ruhája között?

\(\mu_{\mathrm{s}}=0,89\)

A súrlódási együtthatót a súrlódási erőből fogjuk tudni kiszámítani, amit pedig a gyorsulásból, úgyhogy elsőként számítsuk ki a gyorsulást! Ehhez a kezdősebességet, végsebességet és a megtett utat ismerjük. Kezdősebesség nélküli egyenletes gyorsuló mozgásunk van, így a végsebeségnek pont a fele az átlagsebesség. Ebből kiszámolhatjuk az eltelt időt:

\[v_{\mathrm{átl}}=\frac{s}{\Delta t}\]

\[\frac{v_1}{2}=\frac{s}{\Delta t}\]

Az adatokat SI-egységben beírva, a mértékegységek elhagyhatók:

\[\frac{3}{2}=\frac{5,66}{\Delta t}\]

\[\Delta t=3,77\ \mathrm{s}\]

Most a gyorsulást kiszámolhatjuk a definíciójából:

\[a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\]

Az adatokat beírva:

\[a=\frac{3}{\Delta 3,77}\]

\[a=0,796\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}\]

Ebből az erőkön át fog vezetni az út a súrlódási együtthatóhoz, úgyhogy készítsünk ábrát, és rajzoljuk be az erőket, kezdjük a nehézségi erővel:

Mivel a lecsúszó ember mozgása mindvégig a lejtőn fog zajlani, ezért érdemesebb a koordinátarendszerünket a lejtőre helyezni, és a tengelyeit lejtő irányába illetve arra merőlegesen irányítani, és mindent ilyen irányú komponensekre bontani. Tegyük meg ezt az \(mg\) nehézségi erővel:

Az \(mg\), az \(mg_{\bot}\) és az \(mg_{\parallel}\) egy olyan nevezetes derékszögű háromszöget alkotnak, mint amilyen az átlójánál kettévágott négyzet. Ennek oldalarányait a Pithagorasz-tétellel ki lehet számítani, az eredmény:

Az ábra alapján az \(mg\) komponensei:

\[mg_{\bot}=\frac{mg}{\sqrt{2}}\]

\[mg_{\parallel}=\frac{mg}{\sqrt{2}}\]

Az \(mg_{\parallel}\) fogja lejtőirányban lefelé gyorsítnai a lecsúszó gyereket, míg az \(mg_{\bot}\) "rányomja" a csúszda lemezére. Mivel a gyerek a lecsúszás során a lejtőn mozog, ezért a lejtőre merőlegesen nincs gyorsulása, így a rá ható lejtőre merőleges erők ki kell oltsák egymást. vagyis hat rá még egy lejtőre merőleges erő, méghozzá a lejtő által kifejtett \(K\) kényszererő:

Ez a kényszererő amiatt fontos nekünk, mert ettől függ a súrlódási erő. A nagysága:

\[K=mg_{\bot}\]

\[K=\frac{mg}{\sqrt{2}}\]

Már csak egy erőnk hiányzik az ábrából, a csúszási súrlódási erő:

A csúszási súrlódási erő tehát:

\[F_{\mathrm{s}}=\mu_{\mathrm{s}}\cdot K\]

\[F_{\mathrm{s}}=\mu_{\mathrm{s}}\cdot mg_{\bot}\]

\[F_{\mathrm{s}}=\mu_{\mathrm{s}}\cdot \frac{mg}{\sqrt{2}}\]

Most már felírhatjuk a lecsúszó emberre a dinamika alapegyenletét lejtőirányra:

\[\Sigma F_{\parallel}=m\cdot a_{\parallel}\]

Ha lefelé vesszük a pozitív irányt, akkor a lejtőirányú erőket így írhatjuk be:

\[mg_{\parallel}-F_{\mathrm{s}}=m\cdot a_{\parallel}\]

Írjuk be, amiket eddig megkaptunk az erőkről:

\[\frac{mg}{\sqrt{2}}-\mu_{\mathrm{s}}\cdot \frac{mg}{\sqrt{2}}=m\cdot a_{\parallel}\]

A tömeg kiesik:

\[\frac{g}{\sqrt{2}}-\mu_{\mathrm{s}}\cdot \frac{g}{\sqrt{2}}=a_{\parallel}\]

Írjuk be az adatainkat, SI-egységben, így a mértékegységek elhagyhatók:

\[\frac{10}{\sqrt{2}}-\mu_{\mathrm{s}}\cdot \frac{10}{\sqrt{2}}=0,796\]

\[7,07-\mu_{\mathrm{s}}\cdot 7,07=0,796\]

\[6,274=\mu_{\mathrm{s}}\cdot 7,07\]

\[\mu_{\mathrm{s}}=0,89\]

c)  Mekkora lejtőirányú erővel lehetne megakadályozni, hogy lecsússzon?

\(\displaystyle \left(1-\mu_{\mathrm{t}}\right)\cdot\frac{mg}{\sqrt{2}}\le F\le \left(1+\mu_{\mathrm{t}}\right)\cdot\frac{mg}{\sqrt{2}}\)

A lecsúszást megakadályozni úgy lehetne, ha lejtőirányan felfelé kifejtenénk egy akkora erőt, amitől a lejtőirányú erők eredője nulla lesz. Azonban ebben az esetben nem csúszási súrlódás hatna a testre, hanem tapadási súrlódás, aminek a nagysága nem meghatározott értékű, hanem (kényszererő lévén) akkora, amekkorára szükség van a kényszerfeltétel teljesüléséhez. Tehát sok különféle erővel nyugalomban tarthatjuk a lecsúszni vágyó gyereket. Tehát a válasz nem egyetlen érték lesz, hanem egy tartomány. Korrektül külön \(\mu_{\mathrm{t}}\) tapadási együtthatóval kell majd számolnunk, akkor is, ha azt nem adták meg.

Nézzük először, hogy mekkora a minimális erő, amivel már nyugalomban lehet tartani! Ez úgy lehetséges, ha a tapadási súrlódási erő "besegít" nekünk, azaz "ő is felfelé húzza a gyereket":

A tapadási erőnek van maximuma, amit képes még kifejteni:

\[F_{\mathrm{t\ max}}=\mu_{\mathrm{t}}\cdot F_{\mathrm{ny}}\]

A nyomóerő most a nehézségi erő merőleges összetevője, amit már meghatároztunk:

\[F_{\mathrm{t\ max}}=\mu_{\mathrm{t}}\cdot mg_{\bot}\]

\[F_{\mathrm{t\ max}}=\mu_{\mathrm{t}}\cdot \frac{mg}{\sqrt{2}}\]

Az erőegyensúlyt felírva lefelé mutató pozitív iránnyal:

\[mg_{\parallel}-F_{\mathrm{t\ max}}-F=0\]

\[\frac{mg}{\sqrt{2}}-\mu_{\mathrm{t}}\cdot \frac{mg}{\sqrt{2}}-F=0\]

\[F=\left(1-\mu_{\mathrm{t}}\right)\cdot\frac{mg}{\sqrt{2}}\]

Mekkora erőt fejthetünk ki lejtőirányban felfelé legfeljebb? Ekkor a tapadási erő már "ellenünk dolgozik":

Az erőegyensúlyt felírva lefelé mutató pozitív iránnyal:

\[mg_{\parallel}+F_{\mathrm{t\ max}}-F=0\]

\[\frac{mg}{\sqrt{2}}+\mu_{\mathrm{t}}\cdot \frac{mg}{\sqrt{2}}-F=0\]

\[F=\left(1+\mu_{\mathrm{t}}\right)\cdot\frac{mg}{\sqrt{2}}\]

Tehát a lehetséges \(F\) húzó erőink:

\[\left(1-\mu_{\mathrm{t}}\right)\cdot\frac{mg}{\sqrt{2}}\le F\le \left(1+\mu_{\mathrm{t}}\right)\cdot\frac{mg}{\sqrt{2}}\]