Törött csontok megerősítésére kiváló anyag a platina, mert erős és szövetbarát (nem löki ki idegen anyagként az emberi szervezet immunrendszere). A természetes platina 0,012%-a \(\mathrm{^{190}Pt}\) izotóp, mely alfa-bomló, felezési ideje 500 milliárd év, a további 5 természetes platinaizotóp stabil. A platina moláris tömege $\displaystyle M_{\mathrm{Pt}}=195,08\ \mathrm{\frac{g}{mol}}$.
a) Milyen izotópra bomlik el a \(\mathrm{^{190}Pt}\)?
$\mathrm{^{186}Os}$
Alfa-bomláskor az atommagból egy \(\mathrm{^{4}He}\) mag repül ki, azaz a bomló mag nukleonállománya 2 protonnal valamint két neutronnal csökken. Így a periódusos rendszerben kettőt balra lépünk, a tömegszám pedig 4-gyel csökken, így 186-os tömegszámú ozmium jön majd létre:
\[\mathrm{^{190}_{\ \ 78}Pt} \to \mathrm{^{186}_{\ \ 76}Os}+\mathrm{^{4}_{2}He}\]
b) Mennyi az aktivitása egy 20 dekás platina csontrögzítő implantátumnak?
$A=3\ \mathrm{Bq}$
Az aktivitás a bomlásképes magok $N$ számával arányos, az arányossági tényező a $\lambda$ bomlási állandó:
$$A=\lambda \cdot N$$
Mi azonban nem ismerjük a $\mathrm{^{190}Pt}$ bomlási állandóját, csak a felezési idejét:
$$T=500\cdot 10^9\ \mathrm{év}$$
$$T=500\cdot 10^9\cdot 365\cdot 24\cdot 3600\ \mathrm{s}$$
$$T=1,6\cdot 10^{19}\ \mathrm{s}$$
de a bomlási állandó és a felezési idő összefüggenek:
\[\lambda=\frac{\ln{2}}{T}\]
Ez alapján a radioaktív platinaizotóp bomlási állandója:
$$\lambda =4,4\cdot 10^{-20}\ \mathrm{\frac{1}{s}}$$
Most már csak ki kell számolnunk, hogy hány darab bomlásképes platinaizotóp van 20 deka platinában. Mivel a természetes platina tömegszáma
$$M_{\mathrm{Pt}}=195,08\ \mathrm{\frac{g}{mol}}$$
Nekünk 200 gramm platinával kell számolnunk. Írjuk fel az aránypárt:
$$200\ \mathrm{g}\to 1\ \mathrm{mol}$$
$$195,08\ \mathrm{g}\to n\ \mathrm{mol}$$
Ebből:
$$n=0,976\ \mathrm{mol}$$
Ennek 0,012%-a 190-es tömegszámú:
$$n_{190}=0,976\ \mathrm{mol}\cdot 0,00012$$
$$n_{190}=1,17\cdot 10^{-4}\ \mathrm{mol}$$
Mivel minden molnyi mennyiségben $6\cdot 10^{23}$ atom van, ezért az implantátumban lévő bomlásképes platinamagok száma:
$$N_{190}=1,17\cdot 10^{-4}\cdot 6\cdot 10^{23}$$
$$N_{190}=7\cdot 10^{19}$$
Innen az aktivitás:
$$A=\lambda \cdot N_{190}$$
$$A=4,4\cdot 10^{-20}\cdot 7\cdot 10^{19}$$
$$A=3\ \mathrm{Bq}$$
Vagyis átlagosan másodpercenként mindössze 3 bomlás zajlik a 20 dekás platinaimplantátumban.
c) Hány % többlet aktivitást jelent ez az átlagos, egészséges felnőtt ember testében zajló természetes radioaktivitásához képest, ami \(8000\ \mathrm{Bq}\) értékű?
$0,04\%$
vagyis a platinától származó $A=3\ \mathrm{Bq}$ hány százaléka az emberi test $A=8000\ \mathrm{Bq}$ természetes aktivitásának. Írjuk fel aránypárral:
$$8000\ \mathrm{Bq}\to 100\%$$
$$3\ \mathrm{Bq}\to \mathrm{X}\%$$
amiből kerekítve:
$$\mathrm{X}=0,04$$
vagyis 0,04% többlet aktivitást jelent egy betegnek, ha egy 20 dekás platinát ültetnek a szervezetébe. Ez nyilván jelentéktelen.
d) Hány %-kal csökken az implantátum aktivitás a beteg haláláig, ha az a beültetés után még 50 éven át él?
0,000000007%-kal, azaz "semennyivel"
Az 500 milliárd éves felezési idő azt jelenti, hogy az elbomlani képes magok $N$ száma mindig ennyi idő alatt feleződik meg. Mivel az $A$ aktivitás egyenesen arányos a bomlásképes magok számával:
$$A=\lambda\cdot N$$
ahol a $\lambda$ arányossági tényező a bomlási állandó, ezért az aktivitás is 500 milliárd évente feleződik le. Ehhez képest a beteg testében töltött 50 évnyi idő igen rövid, konkrétan
$$\frac{500 \cdot 10^9}{50}=10^{10}$$
azaz tízmilliárdszor rövidebb, úgyhogy csak egészen elhanyagolható arányú aktivitáscsökkenés fog bekövetkezni a beteg élete során. De azért számoljuk ki:
$$A_1=A_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$
Az időadatok maradhatnak év egységben (hiába nem SI-egység az), mivel a törtben úgyis kiegyszerűsödnek:
$$A_1=A_0 \cdot 2^{-\frac{50}{5\cdot 10^{11}}}$$
$$A_1=A_0 \cdot 2^{-10^{-10}}$$
$$A_1=0,99999999993\cdot A_0$$
tehát a beültetéskori akttivitás 99,99999993%-s még meglesz a beteg halálakor is, azaz mindössze 0,000000007%-kal fog csökkenni az implantátum sugárzási aktivitása a betegben töltött 50 év alatt. Ilyen mértékű csökkenést nemigen lehet kimérni; úgyhogy ez állandó aktivitásnak nevezthető.