a)  Mekkora töltésre és energiára tölthetők fel külön-külön?

\(Q_{\mathrm{1\ max}}=1,2\cdot 10^{-4}\ \mathrm{C}\)

\(Q_{\mathrm{1\ max}}=4\cdot 10^{-4}\ \mathrm{C}\)

\(E_{\mathrm{1\ max}}=2,4\cdot 10^{-3}\ \mathrm{J}\)

\(E_{\mathrm{1\ max}}=1,6\cdot 10^{-2}\ \mathrm{J}\)

Az 1-es kondenzátor adatai:

\(C_1=3\ \mathrm{\mu F}=3\cdot 10^{-6}\ \mathrm{F}\)

\(U_{\mathrm{1\ max}}=40\ \mathrm{V}\)

A 2-es kondenzátor adatai:

\(C_2=5\ \mathrm{\mu F}=5\cdot 10^{-6}\ \mathrm{F}\)

\(U_{\mathrm{1\ max}}=80\ \mathrm{V}\)
 

Az eltárolható maximális töltés a kapacitás

\[C=\frac{Q}{U}\]

definíciója alapján mindig:

\[Q_{\mathrm{max}}=C\cdot U_{\mathrm{max}}\]

Ez az 1-es kondenzátor esetében:

\[Q_{\mathrm{1\ max}}=3\cdot 10^{-6}\cdot 40\]

\[Q_{\mathrm{1\ max}}=1,2\cdot 10^{-4}\ \mathrm{C}\]

A 2-es kondenzátor esetében:

\[Q_{\mathrm{2\ max}}=5\cdot 10^{-6}\cdot 80\]

\[Q_{\mathrm{1\ max}}=4\cdot 10^{-4}\ \mathrm{C}\]

A kondenzátorok maximális energiája:

\[E_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2}CU_{\mathrm{max}}^2\]

Ez alapján az 1-es kondenzátor maximális energiája:

\[E_{\mathrm{1\ max}}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 10^{-6}\cdot 40^2\]

\[E_{\mathrm{1\ max}}=2,4\cdot 10^{-3}\ \mathrm{J}\]

A 2-es kondenzátor maximális energiája:

\[E_{\mathrm{2\ max}}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 10^{-6}\cdot 80^2\]

\[E_{\mathrm{1\ max}}=1,6\cdot 10^{-2}\ \mathrm{J}\]

b)  Sorba kapcsolva őket, mekkor az rendszer erő kapacitása?

\(C_{\mathrm{er}}=1,875\ \mathrm{\mu F}\)

Kondenzátorok soros kapcsolása esetén a kapacitások az eredőhöz "reciprokosan adódnak össze":

\[\frac{1}{C_{\mathrm{er}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\]

Amit kirendezve az eredő kapacitásra:

\[C_{\mathrm{er}}=\frac{C_1\cdot C_2}{C_1+C_2}\]

Az adatainkat beírva:

\[C_{\mathrm{er}}=\frac{3\ \mathrm{\mu F}\cdot 5\ \mathrm{\mu F}}{3\ \mathrm{\mu F}+5\ \mathrm{\mu F}}\]

\[C_{\mathrm{er}}=\frac{3\ \mathrm{\mu F}\cdot 5\ \mathrm{\mu F}}{8\ \mathrm{\mu F}}\]

\[C_{\mathrm{er}}=\frac{3\cdot 5\ \mathrm{\mu F}}{8}\]

\[C_{\mathrm{er}}=\frac{15}{8}\ \mathrm{\mu F}\]

\[C_{\mathrm{er}}=1,875\ \mathrm{\mu F}\]

Önellenőrzésként megllapíthatjuk, hogy a várakozásnoknak megfelelően ez kisebb lett mindkettő sorba kötött kondenzátor kapacitásánál.

c)  Sorba kapcsolva őket, legfeljebb mekkora feszültséget kapcsohatunk rájuk? Mennyi töltést és energiát tárol ilyenkor a kondenzátorrendszer?

\(U_{\mathrm{s\ max}}=64\ \mathrm{V}\)

\(Q_{\mathrm{s}}=1,2\cdot 10^{-4}\ \mathrm{C}\)

\(E_{\mathrm{s\ max}}=3,84\cdot 10^{-3}\ \mathrm{J}\)

Kondenzátorok soros kapcsolásánál a kondenzátorok azonos töltésre töltődnek fel, hiszen a "középső rész" (a bal oldali kondenzátor jobbra eső fegyverzete és a jobb oldali kondenzátor balra eső felülete, valamint az őket összekötő vezeték) kezdetben semleges volt, így a feltöltés uán is az kell maradjon, hiszen a szigetelőrétegek miatt a középső részre nem juthatott töltés:

(Sorosan kapcsolt kondenzátorok általában nem azonos feszültségre töltődnek fel. Csak abban a speciális esetben valósul meg efféle "harmónia", ha a kapacitásaik azonosak.)

Az 1. kérdében már kiszámoltuk, hogy az egyes kondenzátorok legfeljebb mekkora töltést bírnak el:

\(Q_{\mathrm{1\ max}}=1,2\cdot 10^{-4}\ \mathrm{C}\)

\(Q_{\mathrm{1\ max}}=4\cdot 10^{-4}\ \mathrm{C}\)

Mivel a soros rendszer feltöltésekor a kondenzátorok azonos töltésre tesznek szert, így a kisebbik töltés megengedhető csak, vagyis \(1,2\cdot 10^{-4}\ \mathrm{C}\). Ekkora töltéstől milyen feszültségük lesz az egyes kondenzátorokna?

Az 1-es kondinak ez pont a maximális töltése, tehát ő a maximális feszültségére töltődik most:

\[U_1=40\ \mathrm{V}\]

A 2-es kondi viszont csak részben fog feltöltődni:

\[U=\frac{Q}{C}\]

\[U_2=\frac{1,2\cdot 10^{-4}}{5\cdot 10^{-6}}\]

\[U_2=24\ \mathrm{V}\]

Vajon a két feszültséget össze kell adni, vagy ki kel vonni egymásbó? Induljunk el az áramforrásból, és menjünk körbe az áramkörön! Mivel az áramforrás már feltöltötte a kondenzátorokat, így minden töltés mozdulatlan, vagyis elektosztatikus esetünk van. A sztatikus elektromos mező konzervatív, vagyis egy zárt görbe mentén a potenciálemelkezések és potenciálesések összege nulla. Tudjuk, hogy a pozitívabb rész magasabb potenciált jelent. Ha az ábránkon elindulunk a táregység pozitív kivezetésétől az áramkörön, akkor a fémdrót mentén nincs potenciálváltozás, hiszen sztatikus esetben bármely fémfelület minden pontja ekvipotenciális. Amikor az utunkba kerülő első kondenzátor (ami a jobb oldali, 2-es kondi) szigetelőrétegén áthaladunk, akkor a pozitív lemezről a negatív lemezre lépünk át, ami potenciálesést jelent. Tovább haladva az áramkörben, a középső vezetékszakaszon megint nincs potenciálváltozás, hiszen ekvipotenciálsi fémtest. Aztán amikor eljutunk a bal oldali kondihoz (ami az 1-es kondi), ott is a pozitív lemezről lépünk át a negatív lemezre, vagyis megint potenciálesés következik be. Visszaérve a tápegységhez, azon belül a negatív kivezetésból a pozitív kivezetésbe eljutva annyit kell emelkedni a potenciálnak, amennyit mostanáig összesen esett, vagyis

\[U=U_1+U_2\]

Az eredményeket beírva:

\[U_{\mathrm{s\ max}}=40\ \mathrm{V}+24\ \mathrm{V}\]

\[U_{\mathrm{s\ max}}=64\ \mathrm{V}\]

Tehát maximum \(64\ \mathrm{V}\) feszültséget kapcsolhatunk rájuk, ha sorba vannak kötve.

Az eltárolt energia kiszámításához külön meg kell nézni az egyes kondenzátorok energiáit, és össze kell őket adni. Az 1-es kondi maximumra van töltve, tehát az ő energiája most a maximális \(2,4\cdot 10^{-3}\ \mathrm{J}\). A 2-es kondi energiáját ki kell számolnunk az aktuális adataiból:

\[E=\frac{1}{2}QU\]

\[E_2=\frac{1}{2}\cdot 1,2\cdot 10^{-4}\cdot 24\]

\[E_2=1,44\cdot 10^{-3}\ \mathrm{J}\]

A soros kapcsolásban maximálisan eltárolható összenergia ezek alapján:

\[E_{\mathrm{s\ max}}=E_1+E_2\]

\[E_{\mathrm{s\ max}}=2,4\cdot 10^{-3}+1,44\cdot 10^{-3}\]

\[E_{\mathrm{s\ max}}=3,84\cdot 10^{-3}\ \mathrm{J}\]