a)  Mekkora volt az izotópminta tömege kezdetben?

$m_0=32\ \mathrm{mg}$

Adatok:

$T=5\ \mathrm{nap}$

$\Delta m_{0}=6\ \mathrm{mg}$

a) Az izotópok kezdeti mennyiségének meghatározása:

10 pont
(bontható)

Mivel az izotópból 5 nap alatt mindig a nap elején aktuális mennyiség fele bomlik el (1 pont), ezért ha kezdetben $m_{0}$ tömegű volt, akkor:

• A 0-5 nap időtartamban elbomlik $\displaystyle \frac{m_{0}}{2}$ (1 pont).
   
• Az 5-10 nap időtartamban elbomlik $\displaystyle \frac{m_{0}}{4}$ (1 pont).
   
• A 10-15 nap időtartamban elbomlik $\displaystyle \frac{m_{0}}{8}$ (1 pont).
   
• A 15-20 nap időtartamban elbomlik $\displaystyle \frac{m_{0}}{16}$ (1 pont).

Azaz

$$m_0\cdot \left(\frac{1}{8}+\frac{1}{16}\right)=6\ \mathrm{mg}$$

(2 pont)

amiből

$$m_0= \frac{16}{3}\cdot 6\ \mathrm{mg}$$

(2 pont)

$$m_0=32\ \mathrm{mg}$$

(rendezés + számítás, 2 + 1 pont)

b)  Mennyi izotóp maradt a 20. nap végére?

$m_{20}=2\ \mathrm{mg}$

b) A 20. nap végére megmaradó izotópmennyiség meghatározása:

5 pont
(bontható)

Mivel az izotópból 5 nap alatt mindig a kezdeti mennyiség fele marad meg (1 pont), ezért:

$$m_{20}=m_0\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\! 4}$$

$$m_{20}=m_0\cdot \frac{1}{16}$$

$$m_{20}=2\ \mathrm{mg}$$

(egyenlet + számítás, 2 + 2 pont)

Összesen: 15 pont