Általában a függvények változója az idő szokott lenni (a vízszintes tengelyre téve). De itt most az $y$ függőleges helykoordináta a változónk. Emiatt a feladat szokatlan, egyben kizökkentő, tudattágító is. További nehézség, hogy az $y$ függőleges helykoordináta "nyakatekert módon" nem a függőleges tengelyen van, hanem a vízszintesen. 

Először gondoljuk végig, hogy az $y$ függőleges helykoordináta milyen értékeket vesz fel! Mivel az \(y\) tengely felfelé áll, és a nullpontja a padlón van, ezért az \(y\) helykoordináta 

• A kezdeti elejtéskor valamekkora pozitív érték
• a lefelé zuhanás során egyre csökken
• a padlóba csapódásra nullává válik
• az ütközés után nulláról növekszik, egészen az kezdeti pozitív értékig
• majd újraindul a folyamat.

Ez alapján a C) és a D) lehetőségek máris kizárhatók, hiszen azokban az \(y\) helykoordináta folyamatosan növekszik, nem indadozik a kezdeti pozitív érték és a nulla között. Ennyi alapján azonban nem tudunk választani az A) és B) közül.

Úgyhogy nézzük meg, milyen értékeket vesz fel a folyamatban a $v_{\mathrm{y}}(y)$ függőleges sebesség:

• a kezdeti elejtéskor nulla
• aztán a zuhanás során egyre nagyobb negatív értékeket vesz fel (hisz az $y$ tengely felfelé van irányítva, így a lefelé irányuló sebesség negatív)
• a padlóval ütközve a sebesség hirtelen negatívról pozitív előjelűre vált (nagysága nem változik, mert az ütközés ideális, energiaveszteség nincs)
• felfelé menet ez a pozitív sebesség egyre csökken
• visszaérkezve a kiindulási helyre egészen nulláig
• majd a folyamat újrakezdődik.

Tehát a sebesség egy pozitív érték és egy ugyanakkora negatív érték között ingadozik. Ez alapján azonban továbbra sem tudunk választani az A) és B) közül. Úgyhogy alaposabban végig kell gondolnunk a függőleges sebességkomponens függését, csakhogy nem az időtől, amit jól ismerünk, hiszen szabadesés zajlik:

$$v_{\mathrm{y}}=a\cdot t=g\cdot t$$

hanem most a $v_{\mathrm{y}}(y)$ függést keressük, tehát a $v_{\mathrm y}$ függőleges sebességet az  $y$ helykoordináta függvényében. A függvény alakját is ismernünk kell nagy vonalakban, hisz az A) és B) válaszok csak ennyiben különböznek.        
 

 1. megoldás 

Nézzük a nehézségi erő munkáját, amint elejtés után a zuhanó labdának folyamatosan növeli a mozgási energiáját! A munkatételt felírva:

$$W_{mg}=\Delta E^{\mathrm{mozg}}$$

$$mg \cdot s_{\parallel}=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_0^2$$

de mivel a kezdeti mozgási energia nulla, így:

$$mg \cdot s_{\parallel}=\frac{1}{2}mv_1^2$$

Vegyük lefelé az $y$ tengelyt, nullhelyét az ejtés magasságába! Ekkor $h$ mértékű elmozdulás, zuhanás esetén:

$$mg \cdot h=\frac{1}{2}mv_1^2$$

$$gh=\frac{1}{2}v_1^2$$

$$2gh=v_1^2$$

Ha $h$ mértékkel süllyed a labda, illetve 2-szer nagyobb $2h$ mértékkel, olyankor a kialakuló $v_1$ végsebességek nem egymás 2-szeresei lesznek, hanem a második esetbeli $v_1^2$ "sebességnégyzet" lesz a duplája az első esetének. Ez úgy lehet, ha a második eset sebessége $\sqrt{2}$-szöröse az első esetének. Tehát a grafikonon a kezdeti elejtés helyzetéből indulva (amikor az $y$ érték maximális, a sebesség pedig nulla:

Vagy még részletesebben: legyen a sebesség az első $h$ út megtétele végén $v_1$, majd még egy ugyanekkora $h$ út megtétele végén $v_2$! A helyzeti energia az első $h$ út megtétele alatt ugyanannyit csökken, mint a második $h$ út megtétele alatt, emiatt az első szakasz során ugyanannyit növekszik a mozgási energia, mint a második szakasz során. Másképp fogalmazva: $2h$ megtétele végén pont 2-szer annyi lesz az $E_2$ mozgási energia, mint az első $h$ megtétele végén lévő $E_1$.

$$\frac{1}{2}mv_2^2=2 \cdot \frac{1}{2}mv_1^2$$

Egyszerűsítés után:

\[\frac{v_2^2}{v_1^2}=2\]

Gyököt vonva:

\[\frac{v_2}{v_1}=\sqrt{2}\]

azaz

\[v_2=\sqrt{2}\cdot v_1\]

Tehát $2h$ megtétele után nem dupla annyi lesz a sebesség, mint $h$ megtétele után, hanem csak \(\sqrt{2}\)-szörös. Vagyis ha azonos lépésekkel haladunk az \(y\) tengelyen pozitív értékről a nulla felé, akkor a sebesség egyre kisebb ütemben növekszik. Konkrétan gyökfüggvény szerint, azaz fekvő parabolaíven.

A B) válaszban ezzel szemben ha $h$ illetve $2h$ süllyedés történik, attól $v_1$ illeve $2v_1$ lesz a sebesség:

 2. megoldás 

Legyen minden úgy, ahogy a feladat írja: az $y$ tengely iránya felfelé, nullpontja és a helyzeti energia nullpontja pedig a padlón. Ekkor, mivel a labdára csak konzervatív erő hat, a mechanikai energia megmaradásának tétele teljesül, azaz az $\displaystyle \frac{1}{2}mv_{\mathrm{y}}^2$ mozgási energiának és az $mgh=mgy$ helyzeti energia összege mindvégig állandó, és egyenlő az elengedéskori maximális helyzeti energiával, amikor is a mozgási energia nulla. Kezdetben legyen a labda magassága $y=h_0$:

$$\frac{1}{2}mv_{\mathrm{y}}^2+mgy=mgh_0$$

Rendezzük ki ebből a keresett $v_{\mathrm{y}}(y)$ függvényt!

$$v_{\mathrm{y}}=\sqrt{2g} \cdot \sqrt{-y+h_0}$$

Ez megfelel az

$$y=a \cdot \sqrt{bx-u}+v$$

alakú általánosan transzformált gyökfüggvény egy egyszerűbb $v=0$ esetének:

$$y=a \cdot \sqrt{bx-u}$$

ahol ha az $x$ szorzója negatív (ahogy nekünk mosz a vízszintes $y$ változónk $-y$ tehát negatív), akkor a parabola nem a megszokott $\sqrt{x}$ módjára "jobbra nyílik", hanem "balra nyílik", továbbá $u$ értékkel el van tolva jobbra, és $a$ értékkel meg van nyújtva függőlegesen.

Pont ilyen képet mutat az A) válasz.

 Kiegészítés 

Érdekes végiggondolni, hogy hogyan haladunk az idő szerint a grafikonon! Először is honnan indulunk az elengedéskor? Nagy \(y\) magasságból, nulla sebességgel, ez alapján a kezdőpontunk:

A lefelé zuhanás során (egészen a padlóra érkezésig) a sebességünk egyre nagyobb negatív értékeket vesz fel. Ez alapján a kezdőpontból először lefelé indulunk a grafikonon:

A padlóra érve az \(y\) függőleges koordináta nullára csökken, a sebesség pedig eléri a maximumát. Ez alapján a padlóba csapódás (ütközés) a grafikon legfelső pontján történik:

Az ütközés hatására a sebesség lefelé irányúból felfelé irányúvá változik, miközben a függőleges helykoordinátánk nulla marad. Ez alapján hirtelen felugrunk a grafikon legfelső pontjába:

Innen felfelé haladva a sebességünk fokozatosan csökken, a függőleges koordináta pedig egyre növekszik:

Már csak egy dolog maradt hátra, hogy a test állapotát megjelenítő pont hogyan "fut végig" ezen a grafikonon. Mivel szabadeséskor (akár felfelé ment, akát lefelé menet) a gyorsulás \(g\), azaz a sebesség az idő szerint egyenletesen változik, ezért a pillanatnyi állapot pontja úgy "halad" a piros görbén, hogy a $v_y$ sebesség tengelye mentén időben egyenletesen mozog, vagyis a mozgó pont függőleges vetülete állandó sebességgel mozog az függőleges tengelyen. A padlóba csapódáskor hirtelen (az ideális ütközés miatt pillanatszerűen) ugrik fel a legfelső pontba, majd onnan jobbra lefelé újra úgy halad a piros, fekvő parabola íven, hogy a függöleges tengelyre eső vetülete megint egyenletesen mozog.

Ha valakinek mindez nehéznek tűnik, megnyugtatásul itt látható egy amerikai egyetemi professzor, aki szintén benézte ezt a feladatot.