Egy garázs bejáratát motoros alumíniumredőnnyel zárják be. A motor állandó fordulatszámmal forgat egy, a bejárat felett lévő hengert, amire a redőny feltekeredik, illetve amiről letekeredik. A redőny feltekeredésével a henger fordulatonként egyre vastagabb lesz, miközben a fordulatszáma állandó marad. A grafikonon a redőny aljának sebessége látható az idő függvényében.
a) Határozza meg a henger fordulatszámát $\displaystyle \frac{1}{\mathrm{perc}}$ egységekben!
$f=20\ \displaystyle \frac{1}{\mathrm{perc}}$
a) A redőny fordulatszámának meghatározása:
4 pont
(bontható)
Mivel a grafikonról leolvashatóan egy fordulat periódusideje $\underline{T=3\ \mathrm{s}}$ (2 pont),
$$f=\frac{1}{T}$$
$$f=20\ \frac{1}{\mathrm{perc}}$$
(képlet + számítás, 1 + 1 pont)
b) Mennyivel nő meg egy fordulat után a redőny aljának sebessége?
A sebességnövekedés $2\ \mathrm{\displaystyle \frac{cm}{s}}$ fordulatonként.
b) A redőny sebességváltozásának leolvasása:
2 pont
A sebességnövekedés $2\ \mathrm{\displaystyle \frac{cm}{s}}$ fordulatonként.
c) Mennyivel nő meg a henger sugara, azaz milyen vastag a redőny?
$\Delta r=d=0,95\ \mathrm{cm}$
c) A redőny vastagságának meghatározása:
8 pont
(bontható)
Mivel a redőny alja által a fordulatonként megtett út
$$\Delta s=\Delta v\cdot T=6\ \mathrm{cm}$$
‑rel növekszik,
(képlet + számítás, 2 + 1 pont)
ezért a redőny kerülete ugyanennyit nő
$$\Delta K=\Delta s$$
(2 pont)
amiből
$$\Delta K=2\pi \cdot \Delta r$$
(2 pont)
miatt
$$\Delta r=d=0,95\ \mathrm{cm}$$
(számítás 1 pont)
d) Határozzuk meg, hogy milyen hosszú a redőny, azaz milyen magas a bejárat!
$L=234\ \mathrm{cm}$
d) A redőny alja által megtett teljes út meghatározása:
6 pont
(bontható)
Pl. a redőny aljának átlagsebessége segítségével:
$$\overline{v}=\frac{8+10+12+14+16+18}{6}$$
$$\overline{v}=13\ \mathrm{\frac{cm}{s}}$$
(adatok leolvasása, behelyettesítése 2 pont, számítás 1 pont)
és a mozgás összes ideje
$$t=18\ \mathrm{s}$$
(1 pont)
$$L=\overline{v}\cdot t$$
$$L=234\ \mathrm{cm}$$
(képlet + számítás, 1 + 1 pont)
Vagy:
A fordulatonként kiszámolt utak segítségével:
$$s_{\mathrm{i}}=v_{\mathrm{i}}\cdot T$$
(1 pont)
Az egyes fordulatok alatt megtett utak tehát: $24\ \mathrm{cm}$, $30\ \mathrm{cm}$, $36\ \mathrm{cm}$, $42\ \mathrm{cm}$, $48\ \mathrm{cm}$, $54\ \mathrm{cm}$
(6 db helyes érték 4 pontot, 5 db 3 pontot, 4 db 2 pontot, 3 db 1 pontot ér)
Összesen tehát $234\ \mathrm{cm}$ (1 pont).
Összesen: 20 pont