Az autóvezetőket érdemes tesztpályákon felkészíteni, hogy ismerjék egy-egy ritka, extrém helyzetben az autó viselkedését, reakcióit, hogy éles helyzetben ne érje őket az váratlanul. Egy autó \(108\ \mathrm{km/h}\) sebességről kezd el blokkolt kerekekkel vészfékezni, ami \(3\ \mathrm{s}\)-on keresztül zajlik, ekkor ugyanis beleütközik az előtte álló akadályba. A fékezés során \(63\ \mathrm{m}\) hosszú féknyomok keletkeztek. (A fékezési folyamatot tekintsük egyenletesen változónak!)
a) Mekkora sebességgel csapódott az akadályba az autó?
\(\displaystyle v_1=12\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)
1. megoldás: átlagsebességgel
A fékezés során a sebesség \(v_0\)-ról \(v_1\)-re csökken időben egyenletesen. Ezért az átlagsebesség a kezdő- és végsebesség számtani közepe.:
\[v_{\mathrm{átl}}=\frac{v_0+v_1}{2}\]
A \(v_0\) kezdősebességet ismerjük:
\(\displaystyle v_0=108\ \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{108}{3,6}\ \mathrm{\frac{m}{s}}=30\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)
ezért ha meghatároznánk valahogy az átlagsebességet, akkor abból már meg tudnánk kapni a végsebességet. Mennyi tehát az átlagsebesség?
A fékezés során megetett utat ismerjük:
\[s=63\ \mathrm{m}\]
A megtett utat mindig számíthatjuk a mozgás átlagsebességéből:
\[s=v_{\mathrm{átl}}\cdot \Delta t\]
Tudjuk a fékezés időtartamát:
\[\Delta t=3\ \mathrm{s}\]
Az adatokat SI-egységben beírva, a mértékegységek elhagyhatók:
\[63=v_{\mathrm{átl}}\cdot 3\]
\[v_{\mathrm{átl}}=21\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
Írjuk be a kezdősebességet, végsebességet és az átlagsebességet összekapcsoló egyenletben az adatainkat, mindent SI-egységben, a mértékegységek elhagyva:
\[v_{\mathrm{átl}}=\frac{v_0+v_1}{2}\]
\[21=\frac{30+v_1}{2}\]
\[42=30+v_1\]
\[v_1=12\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]
2. megoldás: a helykoordináta-idő függvénnyel
A helykoordináta időfüggése kezdősebességes, egyenletesen változó mozgás esetén:
$$x=v_0\cdot t+\frac{a}{2}t^2$$
A helykooordinátánk a folyamat végére (ha a kezdeti helyet nullának és a haladási irányt pozitívnak vesszük, akkor) nulláról megnőtt 63-ra, tehát
$x=63\ \mathrm{m}$
Az eltelt időnk
$t=3\ \mathrm{s}$
A kezdősebesség:
\(\displaystyle v_0=108\ \mathrm{\frac{km}{h}}=\frac{108}{3,6}\ \mathrm{\frac{m}{s}}=30\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)
Az $a$ gyorsulás pedig ismeretlen, méghozzá egyedüli ismeretlen, így ki fogjuk tudni számolni.
Írjuk be az adatainkat SI egységekben, így a mértékegységek elhagyhatók:
$$x=v_0\cdot t+\frac{a}{2}t^2$$
$$63=30\cdot 3+\frac{a}{2}\cdot 3^2$$
Az autó lassul, így a gyorsulás ellentétes irányú a kezdősebességgel, ami pedig az általunk választott pozitív iránnyal egyező irányú, vagyis a gyorsulás negatív. De nem muszáj ezt a "tudásunkat" előre jelölnünk az egyenletben, hanem majd úgy fog megjelenni, hogy $a$-ra egy negatív számot fogunk kapni eredményül. Ha a gyorsulás elé a negítív előjelet már a képletben kitesszük:
$$63=30\cdot 3-\frac{a}{2}\cdot 3^2$$
így is eljárhatunk, ez esetben a gyorsulás $a$ értékére pozitív számot kapunk, mivel a negatív előjelét "már kitettük". A lényeg, hogy értsük: a gyorsulás a választott pozitív iránnyal ellentétes, emiatt negatív előjelű.
Elvégezve a számításokat:
$$63=90-\frac{a}{2}\cdot 8$$
$$\frac{a}{2}\cdot 9=27$$
$$a=6\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}$$
3. megoldás: trapéz terület képlettel
Készítsünk $v\thinspace \unicode{x2013} \thinspace t$ sebesség-idő grafikont, feltüntetve rajta minden ismert és ismeretlen adatot:
Vagyis van egy trapézunk, aminek egyik alapja (az ábrán a bal függőlegesz oldal) 30 egység hosszúságú, a másik alapja (a jobb oldali függőleges rész, ami a kérdéses $v_1$ becsapódási sebesség) ismeretlen hosszú, a trapéz magasság (az alsó vízszontes szakasz) hossza 3 egység, és a trapéz területe pedig 63 egység. Vagyis a feladat mostntól az, hogy mennyi az ismeretlen alap hossza. A trapéz területképletét felírva:
$$T=\frac{a+c}{2}\cdot m$$
ahol $a$ és $c$ a trapéz alapjai, $m$ pedig a magassága.
Az adataink:
$a=30$
$m=3$
$T=63$
Az adatokat bírva:
$$63=\frac{30+c}{2}\cdot 3$$
$$21=\frac{30+c}{2}$$
$$42=30+c$$
$$c=12$$
Mivel $c$ a becsapódáskor fennálló $v_1$ sebesség, így:
$$v_1=12\ \mathrm{\frac{m}{s}}$$