$5\cdot 10^{-7}\ \mathrm{T}$ mágneses indukciójú homogén mágneses mezőbe az indukcióvonalakra merőlegesen belőttek az 1. esetben egy protont, a 2. esetben egy alfa‑részecskét. Mindkét esetben a részecske a mágneses mezőben $1\ \mathrm{m}$ sugarú körpályán mozog. A részecskék belövéséhez gyorsító feszültséget használtak.
(A proton és a neutron tömegét tekintse egyenlőnek!)
a) Adja meg a proton és az alfa‑részecske gyorsításához szükséges feszültségek arányát!
$\displaystyle \frac{U_{\mathrm{p}}}{U_{\alpha }}=2$
a) A gyorsításhoz szükséges feszültségek arányának meghatározása:
6 pont
(bontható)
A belövés sebességének meghatározása:
$$B\cdot Q\cdot v=m\cdot \frac{\ v^2}{r}$$
$$v=\frac{B\cdot Q\cdot r}{m}$$
A gyorsító feszültség meghatározása:
$$U\cdot Q=\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2$$
$$U\cdot Q=\frac{1}{2}\cdot m\cdot \frac{B^2\cdot Q^2\cdot r^2}{m^2}$$
$$U=\frac{1}{2}\cdot \frac{B^2\cdot Q\cdot r^2}{m}$$
(4 pont)
Felhasználva, hogy $m_{\alpha }=4\cdot m_{\mathrm{p}}$ és $Q_{\alpha }=2\cdot Q_{\mathrm{p}}:$
$$U_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{B^2\cdot Q_{\mathrm{p}}\cdot r^2}{m_{\mathrm{p}}}$$
$$U_{\alpha }=\frac{1}{2}\cdot \frac{B^2\cdot 2\cdot Q_{\mathrm{p}}\cdot r^2}{4\cdot m_{\mathrm{p}}}$$
A két egyenletből a gyorsító feszültségek aránya:
$$\frac{U_{\mathrm{p}}}{U_{\alpha }}=\frac{4}{2}= 2$$
(2 pont)
b) Adja meg a proton és az alfa‑részecske de Broglie‑hullámhosszának arányát a mágneses mezőbe történő belövés pillanatában!
$\displaystyle \frac{\lambda_{\mathrm{p}}}{\lambda_{\alpha }}=2$
b) A de Broglie‑hullámhosszak arányának meghatározása:
4 pont
(bontható)
$$\lambda =\frac{h}{m\cdot v}$$
$$\lambda =\frac{h}{B\cdot Q\cdot r}$$
(2 pont)
Az a) feladatrész mintájára:
$$\lambda_{\mathrm{p}}=\frac{h}{B\cdot Q_{\mathrm{p}}\cdot r}$$
$$\lambda_{\alpha }=\frac{h}{B\cdot 2\cdot Q_{\mathrm{p}}\cdot r}$$
$$\frac{\lambda_{\mathrm{p}}}{\lambda_{\alpha }}=2$$
(2 pont)
Összesen: 10 pont