a)  Egy izmos lábú focista 40 méter magasra rúgja fel függőlegesen a focit. A labda a felfelé tartó teljes útjának hányadrészét teszi meg az utolsó 1 másodperc során?

0,125

A kérdés az utolsó másodpercben megett útnak és a teljes \(40\ \mathrm{m}\) útnak a hányadosa. Vagyis nekünk elég kiszámolni az utolsó másodprc során megtett utat, majd elosztani 40-nel.

Mivel a labda függőleges sebességét a nehézségi erő csökkenti egyenletesen, konkrétan másodpercenként \(\displaystyle 10\ \mathrm{\frac{m}{s}}\)-mal, ezért az utolsó másodperc elején \(\displaystyle 10\ \mathrm{\frac{m}{s}}\) kellett legyen a sebesség, ha egy másodperc múlva már nullára csökkent. Emiatt az utolsó másodperc során az átlagsebességet ki tudjuk számítani, mivel időben egyeneletesen zajló változás esetén az a kezdeti és a végsebesség számtani közepe:

\[v_{\mathrm{átl}}=\frac{10\ \mathrm{\frac{m}{s}}+0\ \mathrm{\frac{m}{s}}}{2}\]

\[v_{\mathrm{átl}}=5\ \mathrm{\frac{m}{s}}\]

Az utolsó másodperc során megtett \(s_2\) út az átlagsebesség és az eltelt idő (egy másodperc) szorzata:

\[s_2=v_{\mathrm{átl}}\cdot \Delta t\]

\[s_2=5\cdot 1\]

\[s_2=5\ \mathrm{m}\]

Ez alapján az utolsó másodpercben a teljes \(40\ \mathrm{m}\) útnak a

\[\frac{s_2}{s}=\frac{5\ \mathrm{m}}{40\ \mathrm{m}}=0,125\]

vagyis 12,5%-át teszi meg.