Hány gramm \(-10\ \mathrm{{}^\circ C}\)-os jeget tegyünk az üdítőbe, ha azt szeretnénk, hogy a közös hőmérséklet kialakulása után \(10\ \mathrm{{}^\circ C}\)-os folyadékot kapjunk?

$\bigg($A hőveszteségek és a termosz hőfelvétele elhanyagolható. A jég fajhője \(2,1\ \mathrm{\displaystyle \frac{kJ}{kg\cdot ^\circ C}}\), olvadáshője \(335\ \mathrm{\displaystyle \frac{kJ}{kg}}\), a víz és az üdítő fajhője \(4,2\ \mathrm{\displaystyle \frac{kJ}{kg\cdot ^\circ C}}\), az üdítő sűrűsége \(1000\ \mathrm{\displaystyle \frac{kg}{\ m^3}}.\bigg)\)

$m_{\mathrm{j}}=79,1\ \mathrm{g}$

Adatok:

$V_{\mathrm{ü}}=0,5\ \mathrm{{dm}^3}$

$T_{\mathrm{ü}}=25\ \mathrm{{}^\circ C}$

$T_{\mathrm{j}}=-10\ \mathrm{{}^\circ C}$

$T_{\mathrm{k}}=10\ \mathrm{{}^\circ C}$

$c_{\mathrm{j}}=2,1\ \mathrm{\displaystyle \frac{kJ}{kg\cdot {}^\circ C}}$

$L_{\mathrm{o}}=335\ \mathrm{\displaystyle \frac{kJ}{kg}}$

$c_{\mathrm{v}}=c_{\mathrm{ü}}=4,2\ \mathrm{\displaystyle \frac{kJ}{kg\cdot {}^\circ C}}$

${\varrho }_{\mathrm{ü}}=1000\ \mathrm{\displaystyle \frac{kg}{\ m^3}}$
 

Az üdítő tömegének megadása:

$$m_{\mathrm{ü}}={\varrho }_{\mathrm{ü}}\cdot V_{\mathrm{ü}}$$

$$m_{\mathrm{ü}}=1000\ \mathrm{{{kg}\over {\ m^3}}}\cdot 0,5\cdot {10}^{-3}\ \mathrm{m^3}$$

$$m_{\mathrm{ü}}=0,5\ \mathrm{kg}$$

1 pont

Az üdítő energiaváltozásának meghatározása:

$${{\mathit{\Delta}}E}_{\mathrm{ü}}=c_{\mathrm{ü}}\cdot m_{\mathrm{ü}}\cdot \left(T_{\mathrm{k}}-T_{\mathrm{ü}}\right)$$

2 pont

$${{\mathit{\Delta}}E}_{\mathrm{ü}}=4,2\ \mathrm{{{kJ}\over {kg\cdot {}^\circ C}}}\cdot 0,5\ \mathrm{kg}\cdot \left(10\ \mathrm{{}^\circ C-25\ {}^\circ C}\right)$$

$${{\mathit{\Delta}}E}_{\mathrm{ü}}=-31,5\ \mathrm{kJ}$$

$$Q_{\mathrm{le}}=31,5\ \mathrm{kJ}$$
(válasz is elfogadható)

1 pont

Az energiamegmaradás megfogalmazása az üdítő-jég rendszerre:

$${{\mathit{\Delta}}E}_{\mathrm{j}}+{{\mathit{\Delta}}E}_{\mathrm{ü}}=0$$

vagy

$$Q_{\mathrm{le}}=Q_{\mathrm{fel}}$$ stb.

3 pont

A jég energiaváltozásának meghatározása:

$${{\mathit{\Delta}}E}_{\mathrm{j}}=-{{\mathit{\Delta}}E}_{\mathrm{ü}}=31,5\ \mathrm{kJ}$$

1 pont

A jég energiaváltozásának felírása a hőmérséklet-változások segítségével:

$${{\mathit{\Delta}}E}_{\mathrm{j}}=c_{\mathrm{j}}\cdot m_{\mathrm{j}}\cdot \left(T_0-T_{\mathrm{j}}\right)+L_{\mathrm{o}}\cdot m_{\mathrm{j}}+c_{\mathrm{v}}\cdot m_{\mathrm{j}}\cdot \left(T_{\mathrm{k}}-T_0\right)$$

ahol

$$T_0=0\ \mathrm{{}^\circ C}$$

a jég olvadáspontja.

3 x 2 pont

(Tagonként 2 pont adható.)

A jég tömegének meghatározása:

$$m_{\mathrm{j}}={{{{\mathit{\Delta}}E}_{\mathrm{j}}}\over {c_{\mathrm{j}}\cdot \left(T_0-T_{\mathrm{j}}\right)+L_{\mathrm{o}}+c_{\mathrm{v}}\cdot \left(T_{\mathrm{k}}-T_0\right)}}$$

2 pont

$$m_{\mathrm{j}}={{31,5\ \mathrm{kJ}}\over {2,1\ \displaystyle {{\mathrm{kJ}}\over {\mathrm{kg}\cdot \mathrm{{}^\circ C}}}\cdot \left[0\ \mathrm{{}^\circ C}-\left(-10\ \mathrm{{}^\circ C}\right)\right]+335\ \displaystyle \mathrm{{{kJ}\over {kg}}}+4,2\ \displaystyle \mathrm{{{kJ}\over {kg\cdot {}^\circ C}}}\cdot \left[10\ \mathrm{{}^\circ C}-0\ \mathrm{{}^\circ C}\right]}}$$

$$m_{\mathrm{j}}=0,0791\ \mathrm{kg}$$

$$m_{\mathrm{j}}=79,1\ \mathrm{g}$$

2 pont

Összesen: 18 pont