A fenti kép I. (Szent) István királyunk egyik LANCEA REGIS feliratú ezüst dénárját mutatja, mely az első magyarorsági verésű pénzérme volt. A felhőből kinyúló lándzsás (lándzsa latinul lancea) kéz a római birodalom idejéből eredő uralkodói, hatalmi szimbólum. Az élete delén igencsak véreskezű, de vénségére megszelídülő, az intelmei alapján bölcsen aggódó államalapító királyunk ezüstpénzek mellett talán arany solidus érméket is veretett, de belőlük mára mindössze 3 példány maradt fenn, készítőjük vitatott. A solidus-ok megfelelnek a római birodalom sok évszázados pénzverési rendszerének, miszerint 1 római font (327,45 gramm) nemesfémből 72 db érme készül. Ha ezüstből, akkor dénár, ha aranyból, akkor solidus. Feliratai: az előlapon STEPHANVS REX, a hátlapon PANNONIA.
a) Mekkora egy Szent István arany solidus hőkapacitása, ha \(20\ \mathrm{{}^\circ C}\) hőmérsékletről az arany \(1064\ \mathrm{{}^\circ C}\)-os olvadáspontjáig felmelegítéshez \(607,6\ \mathrm{J}\) hőközlés szükséges?
\(\displaystyle C=0,582\ \mathrm{\frac{J}{{}^\circ C}}\)
A hőkapacitás az egységnyi hőmérséklet-változáshoz szükséges hőközlés:
\[C=\frac{Q}{\Delta T}\]
A hőközlés adatot tudjuk:
\[Q=607,6\ \mathrm{J}\]
A hőmérsékletváltozást pedig ki tudjuk számolni úgy, hogy a végső hőmérsékletből kivonjuk a kezdetit:
\[\Delta T=T_1-T_0\]
\[\Delta T=1064\ \mathrm{{}^\circ C}-20\ \mathrm{{}^\circ C}\]
\[\Delta T=1044\ \mathrm{{}^\circ C}\]
Ezeket beírva a hőkapacitás definíciójába:
\[C=\frac{Q}{\Delta T}\]
\[C=\frac{607,6\ \mathrm{J}}{1044\ \mathrm{{}^\circ C}}\]
\[C=0,582\ \mathrm{\frac{J}{{}^\circ C}}\]
b) Mennyi az arany fajhője?
\(\displaystyle c=128\ \mathrm{\frac{J}{kg\cdot {}^\circ C}}\)
A \(c\) fajhő a tömegre vonatkoztatott fajlagos hőkapacitás, vagyis a \(C\) hőkapacitást el kell osztanunk a tömeggel:
\[c=\frac{C}{m}\]
Egy aranypénz hőkapacitását már kiszámoltuk az 1. kérdésben, a tömegét pedig a bizánci pézverési előírások alapján tudjuk meghatározni:
\[m=\frac{327,45\ \mathrm{g}}{72}\]
\[m=4,548\ \mathrm{g}=0,004548\ \mathrm{kg}\]
Az adatokat beírva a fajhő definíciós egyenletébe:
\[c=\frac{C}{m}\]
\[c=\frac{0,582\ \mathrm{\frac{J}{{}^\circ C}}}{0,004548\ \mathrm{kg}}\]
\[c=128\ \mathrm{\frac{J}{kg\cdot {}^\circ C}}\]
c) A standard aranytömb 400 unciás, de ez itt ún. troy ounce (nemesfém uncia), ami 31,1 grammot jelent. Ugyanis a hétköznapi dolgoknál (mint amilyenek az élelmiszerek) használt ún. avoirdupois ounce (rövidítve oz.) fajtájú uncia csak 28,35 grammal egyenlő. Mennyi hőközléssel lehet olvasáspontig melegíteni egy standard aranytömböt szobahőmérsékletről?
\(Q=1\ 662\ 382\ \mathrm{J}\)
A szükséges hőközlés:
\[Q=C\cdot \Delta T=c\cdot m\cdot \Delta T\]
A \(\Delta T\) hőmérsékletváltozást az 1. kérdésből, az arany fajhőjét pedig a 2. kérdésből ismerjük. Számítsuk ki az aranytömb tömegét SI-egységben:
\[m=400\cdot 31,3\ \mathrm{g}\]
\[m=12\ 440\ \mathrm{g}=12,44\ \mathrm{kg}\]
Írjuk be az adatainkat a hőközléses egyenletben, mindent SI-egységben:
\[Q=c\cdot m\cdot \Delta T\]
\[Q=128\cdot 12,44\cdot 1044\]
\[Q=1\ 662\ 382\ \mathrm{J}\]