a)  Amikor egy autó vízszintes, körív alakú pályán állandó sebességgel kanyarodik, olyankor milyen erő felelős az autó gyorsulásáért?

Az \(F_{\mathrm{t}}\) tapadási súrlódási erő.

Állandó sebességű körmozgás esetén is van gyorsulás, mivel a sebességvektor iránya folyamatosan változik, ez az \(a_{\mathrm{cp}}\) centripetális gyorsulás, mely mindig a körpálya középpontja felé mutat, nagysága pedig:

\[a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{r}=r\cdot \omega^2=v\cdot \omega\]

A körpálya a vízszintes síkban van, így a kör középpontja felé muattó centripetális irány is a vízszintes síkban van, az autóra pedig vízszintes erő (a légellenálláson és a gördülési ellenálláson kívül) csak a tapadási erő hat, így ez biztosítja az autó kanyarodását, irányváltását.

Ha valami miatt a kerék és az úttest közötti tapadás lecsökken (például mert esik az eső, a hó, vagy egy traktor sarat hordott az útra, vagy az út nem szilárd, hanem egymáshoz csak lazán "rögzülő" kavicsokkal van teleszórva), olyankor a tapadási súrlódás nem képes biztosítani a centripetális gyorsuláshoz szükséges centripetális irányú erőt, így az autó nem tud bekanyarodni, hanem "kiegyenesíti a kanyart".

b)  Ha a kerék és az úttest közötti tapadási együttható \(\mu_{\mathrm{t}}=0,5\) értékű, akkor a két tonnás autó mekkora sebességgel képes \(20\ \mathrm{m}\) sugarú, vízszintes körívű úton kanyarodni?

\(\displaystyle v\le10\ \mathrm{\frac{m}{s}}=36\ \mathrm{\frac{km}{h}}\)

Írjuk fel centripetális irányra a dinamika alapegyenletét:

\[\Sigma F_{\mathrm{cp}}=m\cdot a_{\mathrm{cp}}\]

Vegyük a pozitív irányt a körpálya középpontja felé, azaz a körív középpontja felé! Centripetális irányban csak a tapadási súrlódási erő hat:

\[F_{\mathrm{t}}=m\cdot a_{\mathrm{cp}}\]

Írjuk be a centripetális gyorsulás képletét:

\[F_{\mathrm{t}}=m\cdot \frac{v^2}{r}\]

A tapadási erő legfeljebb a tapadási erő maximuma lehet, ami pedig a felületek között ébredő \(F_{\mathrm{ny}}\) nyomóerőnek és a \(\mu_{\mathrm{t}}\) tapadási együtthatónak a szorzata:

\[F_{\mathrm{t}}\le F_{\mathrm{t\ max}}=\mu_{\mathrm{t}}\cdot F_{\mathrm{ny}}\]

Ezt az egyenlőtlenséget beírva a dinamika alapegyenletébe:

\[\mu_{\mathrm{t}}\cdot F_{\mathrm{ny}}\ge m\cdot \frac{v^2}{r}\]

A nyomóerő nagyságra nézve meg kell egyezzen az autóra ható \(mg\) nehézségi erővel, hiszen függőlegesen az autó nem mozdul el, így függőleges gyorsulása nulla, ami csak úgy lehetséges, hogy a rá lefelé ható nehézségi erő és a rá felfelé ható (az úttest által kifejtett) nyomóerő azonos nagyságúakként kioltják egymást. Ezt beírva:

\[\mu_{\mathrm{t}}\cdot mg\ge m\cdot \frac{v^2}{r}\]

Az autó tömege kiesik, vagyis a válasz független az autó tömegétől:

\[\mu_{\mathrm{t}}\cdot g\ge \frac{v^2}{r}\]

\[\mu_{\mathrm{t}}\cdot g\cdot r\ge v^2\]

\[v^2\le \mu_{\mathrm{t}}\cdot g\cdot r\]

Az adatokat SI-egységben beírva:

\[v^2\le0,5\cdot 10\cdot 20\]

\[v^2\le100\]

\[v\le10\ \mathrm{\frac{m}{s}}=36\ \mathrm{\frac{km}{h}}\]

Tehát az autó legfeljebb ekkora sebességgel haladhat a kanyarban. Ennél nagyobb sebességnél a tapadás megszűnik, és az autó csúszni fog, márpedig a csúszási súrlódás máltalában kisebb, mint a taopadási maximuma, vagyis az eredményül kapottnál nagyobb sebességgel már nem fogja tudni "bevenni a kanyart".

c)  Mekkora tapadási együttható szükséges, hogy \(\displaystyle 50\ \mathrm{\frac{km}{h}}\) sebességgel haladhassunk a kanyarban?

\(\mu_{\mathrm{t}}\ge 0,97\)

Először is váltsuk át a sebesség adatunka SI-egységbe:

\[v=50\ \mathrm{\frac{km}{h}}=13,9\ \mathrm{\frac{km}{h}}\]

A 2. kérdés levezetése most is végigvihető, vagyis most is fennáll:

\[v^2\le \mu_{\mathrm{t}}\cdot g\cdot r\]

Az adatokat beírva:

\[13,9^2\le \mu_{\mathrm{t}}\cdot 10\cdot 20\]

\[\mu_{\mathrm{t}}\ge 0,97\]

Ez már a realitások határát feszegeti, ugyanis érdes, száraz aszfalton egy jó minőségű guminak is csak 0,9 körüli tapadási együtthatója van.