2022. 02. 02-án Niclas Castello egy aranykockát rakott ki a new yorki Central Park egyik ösvényén a latyakba, amivel aztán bárki kedvére fotózkodhatott. A német pop-art művész nem l'art pour l'art késztetésből akciózott, ugyanis a különös performansszal az új kriptovalutájára akarta felhívni a figyelmet. A kocka nem tömör arany, a nagyjából 45 centiméteres oldallapjai 24 karátos aranyból készültek egy svájci öntödében. Az alkotás súlya közel 185 kiló, az értékét 10-11 millió dollárra becsülik. Castello elmondása szerint az volt az elképzelése, hogy valami nem evilágit, valami megfoghatatlant hozzon létre.
a) Milyen vastag falú az aranykocka, ha feltételezzük, hogy minden oldalán ugyanolyan a falvastagsága? Az arany sűrűsége $\displaystyle \varrho=19,3\ \mathrm{\frac{g}{cm^3}}$.
$d=1,64\ \mathrm{cm}$
Kínálja magát a gondolat, hogy legyen $d$ a falvastagság, és adogassuk össze az oldallapokat, de valahogy bírkózzunk meg a problémával, hogy a lapok vajon meddig nyúlnak, azaz a kocka sarkait melyik oldallaphoz számoljuk hozzá, hogy ne számoljuk többször. De ennél van egyszerűbb megoldás is.
Az arany tömege és sűrűsége is ismert:
$$m=185\ \mathrm{kg}=185\ 000\ \mathrm{g}$$
$$\varrho=19,3\ \mathrm{\frac{g}{cm^3}}$$
így ki tudjuk számolni az arany térfogatát:
$$\varrho=\frac{m}{V}$$
$$V=\frac{m}{\varrho}$$
$$V=\frac{185\ 000\ \mathrm{g}}{19,3\ \mathrm{\frac{g}{cm^3}}}$$
$$V=9585\ \mathrm{cm^3}$$
Az arany térfogata ugyanakkor úgy is megkapható, hogy a $45\ \mathrm{cm}$-es élhosszúságú kocka
$$V_1=(45\ \mathrm{cm})^3$$
$$V_1=91\ 125\ \mathrm{cm^3}$$
térfogatból kivonjuk a belső, levegővel töltött, szintén kocka alakú rész
$$V_1=(45\ \mathrm{cm}-d)^3$$
térfogatát:
$$9585\ \mathrm{cm^3}=91\ 125\ \mathrm{cm^3}-(45\ \mathrm{cm}-d)^3$$
$$(45\ \mathrm{cm}-d)^3=81\ 540\ \mathrm{cm^3}$$
Köbgyököt vonva:
$$45\ \mathrm{cm}-d=43,36\ \mathrm{cm}$$
$$d=1,64\ \mathrm{cm}$$
b) Hányszor lenne nehezebb, ha tömör arany lenne?
9,5
Ehhez azt kell kiszámolnunk, hogy hányszor nagyobb a kocka külső lapjai által határolt térfogat, mint az arany térfogata. Ezeket az előbb már kiszámoltuk, így csak el kell osztani őket egymással:
$$\frac{91\ 125\ \mathrm{cm^3}}{9585\ \mathrm{cm^3}}=9,5$$
vagyis a mostani $185\ \mathrm{kg}$ helyett a tömör aranykockának $1,76\ \mathrm{t}$ lenne a tömege.