a)  Mekkora legyen az a $Q$ töltés, amivel ellátott harmadik fémgömböt mindkét töltéstől $\ell $ távolságra helyezve, azok fonalai ismét függőlegesek lesznek?

$Q=-1,2\cdot 10^{-6}\ \mathrm{C}$

Egyensúlyban a fonalakra függesztett golyókra ható eredő erő zérus. A három golyó középpontja egyazon függőleges síkban helyezkedik el. A szimmetria miatt elegendő csak az egyik golyóra ható erőket vizsgálni. Ezek: az $mg$ nehézségi erő, az $F_{\mathrm{qq}}$ elektromos erő, amit a másik felfüggesztett test fejt ki, a harmadik az $F_{\mathrm{Qq}}$ elektromos erő, amit a keresett töltés fejt ki, végül az $F_{\mathrm{f}}$ fonálerő, amit a felfüggesztés fejt ki a vizsgált golyóra. Az ábra ezeket mutatja:



Az erők eredője vízszintes irányban:

$$\sum F_{\mathrm{x}}=F_{\mathrm{qq_{\large x}}}-F_{\mathrm{Qq_{\large x}}}=F_{\mathrm{qq_{\large x}}}-\frac{F_{\mathrm{Qq}}}{2}=0\tag{1} \label{eq:special1}$$

ahol $F_{\mathrm{Qq_{\large x}}}=\displaystyle \frac{F_{\mathrm{Qq}}}{2},$ felhasználtuk, hogy a három gömböcske egyenlő oldalú háromszög csúcsaiban helyezkedik el, és így az $F_{\mathrm{Qq}}$ erő vízszintes összetevője éppen fele az $F_{\mathrm{Qq}}$ erőnek.

$$\sum F_{\mathrm{y}}=mg+F_{\mathrm{Qq_{\large y}}}-F_{\mathrm{f}}=mg+\frac{\sqrt{3}}{2}F_{\mathrm{Qq}}-F_{\mathrm{f}}=0\tag{2} \label{eq:special2}$$

ahol az egyenlő oldalú háromszög magasságát megadó megfelelő kifejezést alkalmaztuk az $F_{\mathrm{Qq_{\large y}}}$ függőleges erőösszetevőre.

a) $\eqref{eq:special1}$-be beírva a megfelelő erőtörvényeket:

$$k\frac{\ q^2}{\ \ell^2}-k\frac{Qq}{\ 2\ell^2}=0\tag{1'} \label{eq:special1'}$$

$\eqref{eq:special1'}$-ből egyszerűsítés után a keresett $Q$ töltés meghatározható:

$$Q=2q$$

$$Q=2\cdot \left(-6\cdot 10^{-7}\right)\mathrm{C}$$

$$Q=-1,2\cdot 10^{-6}\ \mathrm{C}$$

b)  Mekkora erő hat ebben az esetben a fonalakban?

(Holics László, Budapest)

$F_{\mathrm{f}}=0,611\ \mathrm{N}$