Egy fonálhoz rögzített kisméretű, $m=0,5\ \mathrm{kg}$ tömegű testet vízszintesig kitérítünk. A felfüggesztési pont alatt $x=1\ \mathrm{m}$ távolságban egy négyzet keresztmetszetű testet helyeztünk el az ábrán látható módon. A négyzet éle $a=0,2\ \mathrm{m}$ hosszúságú.
$($A négyzet keresztmetszetű test jól rögzített, nem mozdul el; $g=10\ \mathrm{\displaystyle \frac{m}{\ s^2}}.)$
a) Mekkora a fonál $L$ hossza, ha a fonál végén lévő testet elengedve az a négyzet $\mathrm{P}$‑vel jelölt csúcsánál érkezik függőleges irányú sebességgel a négyzethez?
$L=1,8\ \mathrm{m}$
b) Mekkora a fonálerő és a testre ható nehézségi erő nagyságának hányadosa, amikor a fonál elengedés után először lesz függőleges, illetve amikor először lesz újra vízszintes a mozgás során?
$\displaystyle \frac{K_1}{mg}=3$
$\displaystyle \frac{K'_1}{mg}=7$
$\displaystyle \frac{K_2}{mg}=4$
$\displaystyle \frac{K'_2}{mg}=6$
Az első függőleges helyzetben kétféle erőt kell számolnunk, a fonál ütközése előtt és után.
Mozgásegyenlet az ütközés előtt:
$$K_1-mg=m\frac{(v_1)^2}{L}$$
valamint az energiatétel:
$$mgL=\frac{1}{2}(v_1)^2$$
Ezért:
$$K_1-mg=m2g$$
$$K_1=3mg$$
$$K_1=3\cdot 0,5\ \mathrm{kg}\cdot 10\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}$$
$$K_1=15\ \mathrm{N}$$
Ebből
$$\frac{K_1}{mg}=3$$
A fonál ütközése után:
$$K'_1-mg=m\frac{(v_1)^2}{3a}$$
a sebesség nem változik, így:
$$K'_1-mg=m\frac{2gL}{3a}$$
$$K'_1=mg\left(1+\frac{2L}{3a}\right)$$
$$K'_1=0,5\ \mathrm{kg}\cdot 10\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}\left(1+\frac{2\cdot 1,8\ \mathrm{m}}{3\cdot 0,2\ \mathrm{m}}\right)$$
$$K'_1=35\ \mathrm{N}$$
Ebből
$$\frac{K'_1}{mg}=\frac{35}{5}$$
$$\frac{K'_1}{mg}=7$$
Az első vízszintes helyzetben is kétféle erőt kell számolnunk, a fonál ütközése előtt és után.
Mozgásegyenlet az ütközés előtt:
$$K_2=m\frac{(v_2)^2}{3a}$$
valamint az energiatétel:
$$mg(x+a)=\frac{1}{2}m(v_2)^2$$
Az utóbbiból:
$$K_2=m\frac{2(x+a)g}{3a}$$
$$K_2=0,5\ \mathrm{kg}\frac{2(1\ \mathrm{m+0,2\ m})}{3\cdot 0,2\ \mathrm{m}}10\ \mathrm{\frac{m}{\ s^2}}$$
$$K_2=20\ \mathrm{N}$$
Ebből
$$\frac{K_2}{mg}=\frac{20}{5}$$
$$\frac{K_2}{mg}=4$$
A fonál ütközése után:
$$K'_2=m\frac{(v_2)^2}{2a}$$
$$K'_2=\frac{2mg(x+a)}{2a}$$
$$K'_2=\frac{2\cdot 5\ \mathrm{N}\cdot 1,2\ \mathrm{m}}{2\cdot 0,2\ \mathrm{m}}$$
$$K'_2=30\ \mathrm{N}$$
Ebből
$$\frac{K'_2}{mg}=\frac{30}{5}$$
$$\frac{K'_2}{mg}=6$$
c) A megadott négyzet esetén mekkora az $x$ távolság, illetve a fonál $L$ hosszának minimális értéke, hogy az a) kérdésnél megadott módon érkezzen az $m$ tömegű test a $\mathrm{P}$ pontba?
(Kiss Miklós, Gyöngyös)
$L=120\ \mathrm{cm}$
$x=40\ \mathrm{cm}$