Mekkora lesz az új pályán a műhold keringési ideje és pályamenti sebessége? $\left(R_{\mathrm{Föld}}\approx 6400\ \mathrm{km}\right)$

$T_2=69\ 300\ \mathrm{s}$

Adatok:

$\displaystyle v_1=3,9\ \mathrm{\frac{km}{s}}$

$h_1=20\ 000\ \mathrm{km}$

$h_2=30\ 000\ \mathrm{km}$

$R_{\mathrm{Föld}}\approx 6400\ \mathrm{km}$
 

I. megoldás:

Kepler törvényének alkalmazása

A műhold pályasugarának kiszámítása a két esetben:

$$r=h+R_{\mathrm{Föld}}$$

amiből

$$r_1=26\ 400\ \mathrm{km}$$

illetve

$$r_2=36\ 400\ \mathrm{km}$$

1 + 1 pont

Az első keringési idő és pályamenti sebesség összefüggésének felírása:

$$v={{2\cdot \pi \cdot r}\over {T}}$$

2 pont

Az első keringési idő kiszámítása:

$$T_1=42\ 500\ \mathrm{s}$$

1 + 1 pont

(rendezés és számítás)

Kepler III. törvényének felírása a két pályára:

$${{T^2_1}\over {T^2_2}}={{r^3_1}\over {r^3_2}}$$

3 pont

Az új pálya keringési idejének kiszámítása:

$$T_2=\sqrt{T^2_1\cdot {{r^3_2}\over {r^3_1}}}$$ ebből $$T_2=68\ 800\ \mathrm{s}$$

2 + 1 pont

(rendezés és számítás)

Az új pályamenti sebesség felírása és kiszámítása :

$$v_2={{2\cdot \pi \cdot r_2}\over {T_2}}=3,3\ \mathrm{{{km}\over {s}}}$$

2 + 2 pont

Összesen: 16 pont

II. megoldás:

A bolygókra vonatkozó összefüggések alkalmazása:

A szükséges adatok megadása:

$$f=6,67\cdot {10}^{-11}\mathrm{{{m^3}\over {kg\cdot s^2}}}$$

$$M_{\mathrm{Föld}}=5,97\cdot {10}^{24}\ \mathrm{kg}$$

1 + 1 pont

A második pálya sugarának felírása és kiszámítása:

$$r_2=h_2+R_{\mathrm{Föld}}=36\ 400\ \mathrm{km}$$

1 + 1 pont

A keringési idő felírása:

$$T=2\cdot \pi \sqrt{{{\ r^3}\over {f\cdot M_{\mathrm{Föld}}}}}$$

4 pont

(A teljes pont csak akkor jár, ha itt vagy később egyértelműen kiderül, hogy a képletben a Föld tömege szerepel. Ellenkező esetben az összefüggésre csak 1 pont jár.)

A keringési idő kiszámítása:

$$T_2=69\ 100\ \mathrm{s}$$

4 pont
(bontható)

A sebesség felírása és kiszámítása:

$$v={{2\cdot \pi \cdot r}\over {T}}$$

ebből

$$v_2=3,3\ \mathrm{{{km}\over {s}}}$$

2 + 2 pont

Összesen: 16 pont

III. megoldás:

A körmozgás dinamikai egyenleteinek alkalmazása:

A szükséges adatok megadása:

$$f=6,67\cdot {10}^{-11}\mathrm{{{m^3}\over {kg\cdot s^2}}}$$

$$M_{\mathrm{Föld}}=5,97\cdot {10}^{24}\ \mathrm{kg}$$

1 + 1 pont

A második pálya sugarának felírása és kiszámítása:

$$r_2=h_2+R_{\mathrm{Föld}}=36\ 400\ \mathrm{km}$$

1 + 1 pont

A körmozgás dinamikai feltételének megfogalmazása:

$$F_{\mathrm{cp}}=F_{\mathrm{grav}}$$

2 pont

A megfelelő összefüggések megadása:

$$F_{\mathrm{cp}}=m\cdot {{v^2}\over {r}}$$ illetve $$F_{\mathrm{grav}}={{f\cdot m\cdot M_{\mathrm{Föld}}}\over {r^2}}$$

2 + 2 pont

A sebesség kiszámítása:

$$v_2=3,3\ \mathrm{{{km}\over {s}}}$$

2 pont

A keringési idő felírása és kiszámítása:

$$T={{2\cdot \pi \cdot r}\over {v}}$$

ebből

$$T_2=69\ 300\ \mathrm{s}$$

2 + 2 pont

Összesen: 16 pont