Határazzuk meg a rúd $M$ tömegét és súlypontjának helyét!

(Csordás András, Budapest)

A rúd tömege $M=19,32\ \mathrm{kg}$, a súlypontja a bal végpontjátóI $x=0,366L$ ávolságra van.

Határozzuk meg, milyen erők hatnak a rendszerben! A jobb oldali kötelet feszítő erő nagyságát jeloljük $F$-fel, a bal oldaliét $F'$-vel.

Bontsuk vízszintes és függőleges komponensekre a kötélerőket. A komponensek értéke:

$$F_{\mathrm{x}}=mg\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$F_{\mathrm{y}}=mg\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$F'_{\mathrm{x}}=\frac{m'g}{2}$$

$$F'_{\mathrm{y}}=m'g\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

A rúd egyensúlyban van, tehát felírhatjuk az erők egyenlőségét a vízszintes, majd a függőleges komponensekre. Így

$$F_{\mathrm{x}}=F'_{\mathrm{x}}$$

Az előbbiekben felírt összefüggések felhasználásával:

$$F'=F\cdot \sqrt{2}$$

A függőleges komponensek egyenlősége:

$$Mg=F'_{\mathrm{y}}+F_{\mathrm{y}}$$

ahonnan az ismert komponensek felhasználásával a következő összefüggést kapjuk:

$$M=m\cdot \frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}$$

$$M=19,32\ \mathrm{kg}$$

Egyensúly esetén a forgatónyomatékok is egyensúlyt tartanak. Írjuk fel a súlypontra a forgatónyomatékok egyensúlyát:

$$F'_{\mathrm{y}}\cdot x=F_{\mathrm{y}}(L-x)$$

A korábban kapott értékek felhasználásával:

$$x=\frac{L}{\sqrt{3}+1}$$

$$x=\frac{L}{2}(\sqrt{3}-1)$$

$$x=0,366L$$