Merre mutat a golyóra ható súrlódási erő?

(Radnai Gyula - Budapest - ötlete alapján)

A körülményektől függően három válasz lehetséges:

$\boldsymbol{a \mathit{)}}$ vízszintesen hátrafelé irányuló (ezek szerint egyre gyorsabban forog,..);
$\boldsymbol{b \mathit{)}}$ vízszintesen előre irányuló (ezek szerint egyre gyorsabban halad ...);
$\boldsymbol{c \mathit{)}}$ nem is hat rá súrlódási erő (ezek szerint nem is áll meg).

A körülményektől függően három válasz lehetséges:

$\boldsymbol{a \mathit{)}}$ vízszintesen hátrafelé irányuló (ezek szerint egyre gyorsabban forog,..);
$\boldsymbol{b \mathit{)}}$ vízszintesen előre irányuló (ezek szerint egyre gyorsabban halad ...);
$\boldsymbol{c \mathit{)}}$ nem is hat rá súrlódási erő (ezek szerint nem is áll meg).

Jelöljük a testre ható erőket az ábrán látható módon. A $K$ közegellenállási erőről az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy a golyó középpontjának magasságában hat. Az üveglap és a golyó között az $S$ és $N$ erőkön kívüI még egy gördülő ellenállásnak nevezett kölcsönhatás is fellép, ezt az $M$ nagyságú forgatónyomatékkal vehetjuk figyelembe. (Ezzel egyenértékű eljárás az, ha a gördülő ellenállást az $N$ erő hatásvonalának eltolódásával vesszük figyelembe.)

A mozgásegyenletek:

$$G-N=0$$

$$S-K=ma$$

$$-SR-M=\mathit{\Theta }\beta $$

A $\beta $ szöggyorsulás tiszta gördülés esetén $\displaystyle \frac{a}{R}$, a golyó tehetetlenségi nyomatéka pedig:

$$\mathit{\Theta }=\frac{2mR^2}{5}$$

A fenti egyenletekből a súrlódási erőt kifejezve:

$$S=\frac{2}{7}K-\frac{5}{7R}M$$

adódik. Az $M$ forgatónyomatékot és a $K$ közegellenállási erő nagyságát a külső körülmények szabják meg. A következő lehetőségek bármelyike elképzelhető:

$\boldsymbol{a \mathit{)}}$ A közegellenállás elhanyagolhatóan kicsi (például ha a kísérletet a Holdon végezzük el). Ilyenkor

$$S=-\frac{5M}{7R}<0$$

tehát a súrlódás a mozgás irányával ellentétes. (A golyó természetesen nem forog egyre gyorsabban, mert

$$-SR-M<0$$

miatt a golyó szöggyorsulása negatív.)

$\boldsymbol{b \mathit{)}}$ A gördülési ellenállás a közegellenálláshoz képest elanyagolható. Ekkor

$$S=\frac{2K}{7}>0$$

tehát a súrlódási erő előre irányul, de a golyó nem fog egyre gyorsabban haladni, mert a teljes vízszintes erő

$$S-K<0$$

$\boldsymbol{c \mathit{)}}$ Ha mind a közegellenállás, mind pedig a gördülési ellenállás elhanyagolhatóan kicsi, akkor - az adott elhanyagolás pontosságának határáig - $S=0$ és ezzel együtt $a=0$, $\beta =0$; tehát a golyó egyenletes sebességgel és állandó szögsebességgel gurul; nem is fog megállni.