a)  Ha egy kagylót $7\ \mathrm{m}$ magasból ejt le a sirály, mekkora sebességgel éri el a talajt? Számoljuk ki először dinamikai úton, vagyis erő, gyorsulás segítségével! (Az egyszerűség kedvéért a kagyló induljon nyugalomból, a légellenállást hanyagoljuk el.)

$\displaystyle v_1=11,8\ \mathrm{\frac{m}{s}}=42,6\ \mathrm{\frac{km}{h}}$

A kagylóra egyetlen, állandó erő hat, az $mg$ nehézségi erő. Ennek hatására a gyorsulása mindvégig a nehézségi gyorsulás lesz:

$$a=g=10\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}$$

Kezdősebesség nélküli egyenletesen gyorsuló mozgásnál a megtett út a négyzetes úttörvénnyel számítható:

$$s=\frac{1}{2}at^2$$

Tudjuk, hogy a kagyló $s=7\ \mathrm{m}$-t zuhant. Az adatokat SI-egységekben beírva:

$$7=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot t^2$$

$$t^2=1,4$$

$$t=1,18\ \mathrm{s}$$

Kezdősebesség nélküli egyenletesen gyorsuló mozgásnál a sebesség időfüggése:

$$v_1=at$$

$$v_1=10\cdot 1,18$$

$$v_1=11,8\ \mathrm{\frac{m}{s}}=42,6\ \mathrm{\frac{km}{h}}$$

b)  Számoljuk ki ugyanezt munkatétellel!

$\displaystyle v_1=11,8\ \mathrm{\frac{m}{s}}=42,6\ \mathrm{\frac{km}{h}}$

A munkatétel szerint a testre ható erők munkái megváltoztatják a test mozgási energiáját:

$$\Sigma W=\Delta E^{\mathrm{mozg}}$$

$$\Sigma W=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_0^2$$

$$\Sigma W=\frac{1}{2}m(v_1^2-v_0^2)$$

Mivel kezdősebesség nincs, ezért

$$\Sigma W=\frac{1}{2}mv_1^2$$

Az elejtett, lezuhanó kagylóra csak az $mg$ nehézségi erő hat, így csak neki lesz munkavégzése:

$$W_{\mathrm{mg}}=mg\cdot s_{\parallel}$$

Ezt beírva:

$$mg\cdot s_{\parallel}=\frac{1}{2}mv_1^2$$

A tömeg kiesik:

$$g\cdot s_{\parallel}=\frac{1}{2}v_1^2$$

A kagyló függőlegesen zuhan, így az egész $s=7\ \mathrm{m}$ elmozdulása párhuzamos elmozdulás, a nehézségi gyorsulás pedig ismert, ezeket SI-egységben, a mértékegységek elhagyásával beírva:

$$10\cdot 7=\frac{1}{2}v_1^2$$

$$v_1^2=140$$

$$v_1=11,8\ \mathrm{\frac{m}{s}}=42,6\ \mathrm{\frac{km}{h}}$$

c)  Számítsuk ki ugyanezt a mechanikai energia megmaradásának tételével!

$\displaystyle v_1=11,8\ \mathrm{\frac{m}{s}}=42,6\ \mathrm{\frac{km}{h}}$

A lezuhanó kagylóra csak konzevatív erő hat (az $mg$ nehézségi erő), így érvényer rá a mechanikai energia megmaradásának tétele:

$$E^{\mathrm{mech}}_0=E^{\mathrm{mech}}_1$$

A mechanikai energia most mozgási energiából és helyzeti energiából áll:

$$E^{\mathrm{mozg}}_0+E^{\mathrm{helyz}}_0=E^{\mathrm{mozg}}_1+E^{\mathrm{helyz}}_1$$

Mivel a kagyló álló helyzetből indul, így

$$E^{\mathrm{mozg}}_0=0$$

Ettől az egyenlet egyszerűsödik:

$$E^{\mathrm{helyz}}_0=E^{\mathrm{mozg}}_1+E^{\mathrm{helyz}}_1$$

A helyzeti energia nemabszolút fogalom, hanem mindig egy általunk (önkényesen) megválasztott nullszinthez képest adható meg. Célszerű úgy választani a nullszintet, hogy az egyik esetben nulla legyen ahelyzeti energia, például a végé, a becsapódásor. Így

$$E^{\mathrm{helyz}}_1=0$$

miatt az egyenlet tovább egyszerűsödik:

$$E^{\mathrm{helyz}}_0=E^{\mathrm{mozg}}_1$$

Erre az alakra már ráillik, hogy "eséskor a helyzeti energia mozgási energiává alakul". Fejtsük ki az energiatagokat, vegyük a nullszinthez képest $h$ magasságúnak a kezdeti helyet:

$$mgh=\frac{1}{2}mv_1^2$$

A tömeggel egszerűsíthetünk:

$$gh=\frac{1}{2}v_1^2$$

Ebből a végsebesség kifejezve:

$$v_1=\sqrt{2gh}$$

(Ezt meg is szokás jegyezni, a kezdősebesség nélküli ejtés végsebesség képleteként.)

Az adatainkat SI-egységben beírva:

$$v_1=\sqrt{2\cdot 10\cdot 7}$$

$$v_1=11,8\ \mathrm{\frac{m}{s}}=42,6\ \mathrm{\frac{km}{h}}$$